Номер 90, страница 194 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 90, страница 194.

Условие.

20.90. Основанием пирамиды является квадрат, а одно из боковых рёбер равно стороне этого квадрата и перпендикулярно плоскости основания. Найдите двугранные углы пирамиды при рёбрах её основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$, а одно из боковых рёбер, например $SA$, перпендикулярно плоскости основания. Пусть сторона квадрата равна $a$. По условию, длина ребра $SA$ также равна $a$. Нам нужно найти двугранные углы при рёбрах основания $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Двугранный угол — это угол между двумя плоскостями, мерой которого является линейный угол. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведёнными в этих плоскостях из одной точки.

Двугранные углы при рёбрах $DA$ и $AB$
Рассмотрим двугранный угол при ребре $DA$. Он образован плоскостью основания $(ABCD)$ и боковой гранью $(SDA)$. Так как ребро $SA$ по условию перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, то любая плоскость, содержащая $SA$, также перпендикулярна плоскости основания. Грань $(SDA)$ содержит $SA$, следовательно, плоскость $(SDA)$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$. Таким образом, двугранный угол при ребре $DA$ равен $90^\circ$.
Аналогично, грань $(SAB)$ содержит ребро $SA$, поэтому плоскость $(SAB)$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$. Двугранный угол при ребре $AB$ также равен $90^\circ$.

Двугранный угол при ребре $BC$
Этот угол образован плоскостями $(SBC)$ и $(ABCD)$. Линией их пересечения является ребро $BC$.
Для нахождения линейного угла воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. В плоскости основания $(ABCD)$ ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, так как $ABCD$ — квадрат. $SA$ — это перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, $SB$ — наклонная, а $AB$ — её проекция на эту плоскость. Поскольку проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$.
Итак, мы имеем два перпендикуляра к ребру $BC$ в точке $B$: $AB$ в плоскости основания и $SB$ в плоскости грани $(SBC)$. Следовательно, угол $\angle SBA$ является линейным углом искомого двугранного угла.
Найдём его величину из прямоугольного треугольника $\triangle SAB$ (угол $\angle SAB = 90^\circ$, так как $SA \perp (ABCD)$). По условию $SA=a$ и $AB=a$. Следовательно, $\triangle SAB$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны $45^\circ$, значит, $\angle SBA = 45^\circ$.

Двугранный угол при ребре $CD$
Рассмотрим двугранный угол при ребре $CD$. Он образован плоскостями $(SCD)$ и $(ABCD)$. Их линия пересечения — ребро $CD$.
Действуем аналогично. В плоскости основания $AD \perp CD$. $SA$ — перпендикуляр к плоскости основания, $SD$ — наклонная, $AD$ — её проекция. Так как проекция $AD$ перпендикулярна прямой $CD$, то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $SD$ также перпендикулярна $CD$.
Линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SDA$, так как $AD \perp CD$ и $SD \perp CD$.
Найдём величину угла $\angle SDA$ из прямоугольного треугольника $\triangle SAD$ (угол $\angle SAD = 90^\circ$). По условию $SA=a$ и $AD=a$. Треугольник $\triangle SAD$ является равнобедренным прямоугольным, поэтому $\angle SDA = 45^\circ$.

Ответ: Два двугранных угла равны $90^\circ$, а два других — $45^\circ$.