Номер 89, страница 194 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 89, страница 194.

Условие.

20.89. Основанием пирамиды $DABC$ является прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Плоскости $ABD$ и $ACD$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $AB = 26$ см, $BC = 10$ см, $AD = 18$ см.

Решение 1.

Решение 3.

По условию, плоскости боковых граней ABD и ACD перпендикулярны плоскости основания ABC. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости. Плоскости ABD и ACD пересекаются по прямой AD. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$.

Из перпендикулярности ребра AD плоскости основания следует, что ребро AD перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку A. В частности, $AD \perp AC$ и $AD \perp AB$. Это означает, что боковые грани ACD и ABD являются прямоугольными треугольниками с прямыми углами при вершине A.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ вычисляется как сумма площадей ее боковых граней:$S_{бок} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle ABD} + S_{\triangle DBC}$.

Для вычисления площадей нам понадобятся длины сторон треугольников.

1. Нахождение катета AC в основании
Основание пирамиды — это прямоугольный треугольник ABC ($∠ACB = 90°$), в котором известны гипотенуза $AB = 26$ см и катет $BC = 10$ см. Применим теорему Пифагора для нахождения второго катета AC:
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$.
$AC = \sqrt{576} = 24$ см.

2. Вычисление площади грани ACD
Грань ACD — это прямоугольный треугольник ($∠DAC = 90°$) с катетами $AD = 18$ см и $AC = 24$ см. Его площадь равна:
$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216 \text{ см}^2$.

3. Вычисление площади грани ABD
Грань ABD — это прямоугольный треугольник ($∠DAB = 90°$) с катетами $AD = 18$ см и $AB = 26$ см. Его площадь равна:
$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 26 = 234 \text{ см}^2$.

4. Вычисление площади грани DBC
Рассмотрим грань DBC. Так как $AD \perp (ABC)$, то AD — перпендикуляр к плоскости основания. Отрезок DC является наклонной, а AC — ее проекцией на плоскость основания. Прямая BC, лежащая в плоскости основания, перпендикулярна проекции AC ($∠ACB = 90°$). По теореме о трех перпендикулярах, прямая BC также перпендикулярна наклонной DC. Следовательно, $∠DCB = 90°$, и треугольник DBC является прямоугольным.
Для расчета его площади найдем длину катета DC из прямоугольного треугольника ACD по теореме Пифагора:
$DC^2 = AD^2 + AC^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$.
$DC = \sqrt{900} = 30$ см.
Теперь найдем площадь треугольника DBC:
$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 30 = 150 \text{ см}^2$.

5. Вычисление полной площади боковой поверхности
Сложим площади всех боковых граней, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды:
$S_{бок} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle ABD} + S_{\triangle DBC} = 216 + 234 + 150 = 600 \text{ см}^2$.

Ответ: $600 \text{ см}^2$.