Номер 85, страница 194 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 85, страница 194.

Условие.

20.85. Боковое ребро правильной пирамиды $MABCD$ равно стороне основания.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ и параллельной плоскости $AMD$.

2) Найдите отношение площади сечения к площади основания пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $MABCD$ — заданная правильная пирамида. Это означает, что в основании лежит правильный многоугольник (в данном случае квадрат $ABCD$), а вершина $M$ проецируется в центр основания. По условию, боковое ребро равно стороне основания. Обозначим длину стороны основания за $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$ и $MA = MB = MC = MD = a$.

Это означает, что все боковые грани пирамиды ($MAB$, $MBC$, $MCD$, $MDA$) являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ и параллельной плоскости $AMD$.

Пусть секущая плоскость называется $\alpha$.

1. Обозначим середину ребра $AB$ точкой $K$. По условию, точка $K$ принадлежит плоскости сечения $\alpha$.

2. Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(AMD)$. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

3. Рассмотрим плоскость грани $MAB$. Она пересекает плоскость $(AMD)$ по прямой $AM$. Следовательно, плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость $(MAB)$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной $AM$. Проведем в треугольнике $MAB$ прямую $KP$ параллельно $AM$, где точка $P$ лежит на ребре $MB$. Так как $K$ — середина $AB$, то по теореме Фалеса $P$ — середина $MB$. Отрезок $KP$ — линия сечения.

4. Рассмотрим плоскость основания $ABCD$. Она пересекает плоскость $(AMD)$ по прямой $AD$. Следовательно, плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость $(ABCD)$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной $AD$. Проведем в квадрате $ABCD$ прямую $KL$ параллельно $AD$, где точка $L$ лежит на ребре $CD$. Так как $K$ — середина $AB$ и $KL || AD$, то $KL$ — средняя линия трапеции $ABCD$ (квадрат можно рассматривать как трапецию), и точка $L$ является серединой ребра $CD$. Отрезок $KL$ — линия сечения.

5. Рассмотрим плоскость грани $MCD$. Она пересекает плоскость $(AMD)$ по прямой $MD$. Следовательно, плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость $(MCD)$ по прямой, проходящей через точку $L$ и параллельной $MD$. Проведем в треугольнике $MCD$ прямую $LQ$ параллельно $MD$, где точка $Q$ лежит на ребре $MC$. Так как $L$ — середина $CD$, то $Q$ — середина $MC$. Отрезок $LQ$ — линия сечения.

6. Соединим точки $P$ (середина $MB$) и $Q$ (середина $MC$). Отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $MBC$, следовательно, $PQ || BC$.

Таким образом, мы получили четыре точки $K$, $P$, $Q$, $L$, лежащие в одной плоскости $\alpha$. Соединив их, получаем искомое сечение — четырехугольник $KPQL$.

Так как $KL || AD$ и $AD || BC$, то $KL || BC$. Также мы выяснили, что $PQ || BC$. Следовательно, $KL || PQ$, и четырехугольник $KPQL$ является трапецией.

Ответ: Искомое сечение — трапеция $KPQL$, где $K$, $P$, $Q$, $L$ — середины ребер $AB$, $MB$, $MC$ и $CD$ соответственно.

2) Найдите отношение площади сечения к площади основания пирамиды.

Найдем площадь основания и площадь сечения. Пусть сторона основания равна $a$.

Площадь основания (квадрата $ABCD$) равна: $S_{осн} = a^2$

Теперь найдем площадь сечения — трапеции $KPQL$.

- Основание $KL$ является средней линией квадрата $ABCD$ (соединяет середины сторон $AB$ и $CD$), поэтому ее длина равна стороне $AD$: $KL = a$.

- Основание $PQ$ является средней линией треугольника $MBC$, поэтому ее длина равна половине стороны $BC$: $PQ = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

- Боковая сторона $KP$ является средней линией равностороннего треугольника $MAB$: $KP = \frac{MA}{2} = \frac{a}{2}$.

- Боковая сторона $LQ$ является средней линией равностороннего треугольника $MCD$: $LQ = \frac{MD}{2} = \frac{a}{2}$.

Так как боковые стороны $KP$ и $LQ$ равны ($KP=LQ=\frac{a}{2}$), трапеция $KPQL$ является равнобедренной.

Для нахождения площади трапеции $S_{сеч} = \frac{KL+PQ}{2} \cdot h_{сеч}$ нам нужна ее высота $h_{сеч}$. Проведем высоту из точки $P$ к основанию $KL$. Пусть ее основание — точка $H$. Длина отрезка $KH$ в равнобедренной трапеции равна полуразности оснований: $KH = \frac{KL - PQ}{2} = \frac{a - \frac{a}{2}}{2} = \frac{\frac{a}{2}}{2} = \frac{a}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHP$. Его гипотенуза $KP = \frac{a}{2}$, катет $KH = \frac{a}{4}$. По теореме Пифагора найдем второй катет — высоту трапеции $h_{сеч} = PH$: $h_{сеч}^2 = KP^2 - KH^2 = (\frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{4})^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{16} = \frac{4a^2 - a^2}{16} = \frac{3a^2}{16}$ $h_{сеч} = \sqrt{\frac{3a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Теперь можем вычислить площадь трапеции (сечения): $S_{сеч} = \frac{KL+PQ}{2} \cdot h_{сеч} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{3a}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{16}$

Найдем искомое отношение площади сечения к площади основания: $\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}a^2}{16}}{a^2} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{16}$