Номер 84, страница 194 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 84, страница 194.

Условие.

20.84. Диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды является прямоугольный треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. Её основанием является квадрат, а диагональным сечением — треугольник, проходящий через вершину пирамиды и диагональ основания. Обозначим этот треугольник $\triangle ASC$, где $S$ — вершина пирамиды, а $AC$ — диагональ квадрата в основании.

Поскольку пирамида правильная, её боковые рёбра, образующие сечение, равны: $SA = SC$. Следовательно, $\triangle ASC$ является равнобедренным.

По условию задачи, $\triangle ASC$ — прямоугольный. В равнобедренном треугольнике прямым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию. Таким образом, $\angle ASC = 90^\circ$. Это означает, что боковые рёбра $SA$ и $SC$ являются катетами, а диагональ основания $AC$ — гипотенузой этого треугольника.

Площадь диагонального сечения, по условию, равна $S$. Для прямоугольного треугольника $\triangle ASC$ она вычисляется как половина произведения катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SC$

Так как $SA = SC$, формула принимает вид:$S = \frac{1}{2} \cdot SA^2$Отсюда выражаем квадрат бокового ребра:$SA^2 = 2S$

По теореме Пифагора для $\triangle ASC$:$AC^2 = SA^2 + SC^2 = 2 \cdot SA^2$Подставим найденное выражение для $SA^2$:$AC^2 = 2 \cdot (2S) = 4S$

Площадь основания пирамиды ($S_{осн}$) — это площадь квадрата. Площадь квадрата можно выразить через его диагональ ($d$) по формуле:$S_{осн} = \frac{d^2}{2}$

В нашем случае диагональ основания это $d = AC$. Подставим в эту формулу найденное значение $AC^2$:$S_{осн} = \frac{AC^2}{2} = \frac{4S}{2} = 2S$

Ответ: $2S$