Номер 4, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 4, страница 174.

Условие.

19.4. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 9 см, а двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

В данной задаче мы имеем правильную четырёхугольную усечённую пирамиду, основаниями которой являются квадраты. Стороны оснований равны $a_1 = 9$ см и $a_2 = 6$ см. Двугранный угол при ребре большего основания равен $60^\circ$.

1. Найдём периметры оснований

Поскольку основания являются квадратами, их периметры равны:

Периметр большего основания: $P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 9 = 36$ см.

Периметр меньшего основания: $P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot 6 = 24$ см.

2. Найдём апофему усечённой пирамиды

Апофема $h_a$ – это высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией). Двугранный угол при ребре большего основания – это угол наклона боковой грани к плоскости этого основания. По условию он равен $60^\circ$.

Для нахождения апофемы рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы двух противоположных боковых граней. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, у которой основания равны сторонам оснований пирамиды ($a_1$ и $a_2$), а боковые стороны – это апофемы ($h_a$). Угол при большем основании этой трапеции равен заданному двугранному углу $60^\circ$.

Проведём высоту в этой трапеции из вершины меньшего основания на большее. Мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза – это апофема $h_a$;
• катет, прилежащий к углу $60^\circ$, равен полуразности оснований трапеции: $\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{9 - 6}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ см;
• острый угол равен $60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(60^\circ) = \frac{(a_1 - a_2)/2}{h_a}$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{2} = \frac{1,5}{h_a}$

Отсюда находим апофему:

$h_a = 1,5 \cdot 2 = 3$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности

Теперь, зная периметры оснований и апофему, мы можем вычислить площадь боковой поверхности по формуле:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a = \frac{36 + 24}{2} \cdot 3 = \frac{60}{2} \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90$ см$^2$.

Ответ: $90$ см$^2$.