Страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.22. Основанием прямой призмы, диагонали которой равны 10 см и 16 см, является ромб. Найдите сторону основания призмы, если её высота равна 4 см.

Пусть основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и диагоналями $d_1$ и $d_2$. Высота призмы равна $h$, а диагонали призмы равны $D_1$ и $D_2$. По условию задачи $h = 4$ см, $D_1 = 10$ см, $D_2 = 16$ см.

Для прямой призмы квадрат ее диагонали равен сумме квадратов соответствующей диагонали основания и высоты призмы. Связь между диагоналями призмы, диагоналями основания и высотой можно выразить с помощью теоремы Пифагора:
$D_1^2 = d_1^2 + h^2$
$D_2^2 = d_2^2 + h^2$

Подставим известные значения и найдем квадраты диагоналей ромба:
$d_1^2 = D_1^2 - h^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84$ (см$^2$)
$d_2^2 = D_2^2 - h^2 = 16^2 - 4^2 = 256 - 16 = 240$ (см$^2$)

В ромбе диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Сторона ромба $a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$). По теореме Пифагора для этого треугольника:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}$

Подставим найденные значения $d_1^2$ и $d_2^2$ в эту формулу:
$a^2 = \frac{84}{4} + \frac{240}{4} = 21 + 60 = 81$

Теперь найдем длину стороны основания $a$:
$a = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

16.23. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$.

Через прямую $CC_1$ проведена плоскость, перпендикулярная прямой $AB$ и пересекающая ребро $AB$ в точке $D$.

Найдите площадь получившегося сечения призмы, если $AD = 18$ см, $BD = 2$ см, а высота призмы равна 8 см.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle ACB = 90^\circ$. Высота призмы $h = CC_1 = 8$ см.

Через ребро $CC_1$ проведена секущая плоскость, которая перпендикулярна прямой $AB$ и пересекает ее в точке $D$. Сечением призмы будет четырехугольник, образованный пересечением этой плоскости с гранями призмы. Так как плоскость проходит через $CC_1$, то две вершины сечения — это точки $C$ и $C_1$. Третья вершина — точка $D$ на ребре $AB$. Поскольку призма прямая, верхнее основание $A_1B_1C_1$ параллельно нижнему $ABC$. Следовательно, секущая плоскость пересечет ребро $A_1B_1$ в точке $D_1$ так, что $CDD_1C_1$ будет искомым сечением.

Так как призма прямая, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $CD$. Следовательно, $\angle C_1CD = 90^\circ$. Таким образом, сечение $CDD_1C_1$ является прямоугольником.

Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{\text{сечения}} = CD \cdot CC_1$.

Найдем длину отрезка $CD$. По условию, секущая плоскость перпендикулярна прямой $AB$. Отрезок $CD$ лежит в секущей плоскости и соединяет точку $C$ с точкой $D$ на прямой $AB$. Следовательно, отрезок $CD$ перпендикулярен прямой $AB$. Таким образом, $CD$ — это высота прямоугольного треугольника $ABC$, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Проекциями катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу $AB$ являются отрезки $AD$ и $BD$ соответственно.

По условию, $AD = 18$ см и $BD = 2$ см.

Тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

$CD^2 = AD \cdot BD$

$CD^2 = 18 \cdot 2 = 36$

$CD = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения, зная, что $CD = 6$ см и высота призмы $CC_1 = 8$ см.

$S_{\text{сечения}} = CD \cdot CC_1 = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: 48 см$^2$.

16.24. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$, отрезок $CM$ – медиана треугольника $ABC$. Высота призмы равна гипотенузе её основания. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через прямые $CC_1$ и $CM$, если $AC = 30$ см, $BC = 40$ см.

По условию задачи, основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$. Сечение призмы проходит через прямые $CC_1$ и $CM$. Прямая $CC_1$ является боковым ребром призмы. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $C$, в том числе и медиане $CM$. Таким образом, угол между прямыми $CC_1$ и $CM$ равен $90^\circ$.

Сечение, проходящее через прямые $CC_1$ и $CM$, представляет собой четырехугольник $CC_1M_1M$, где $M_1$ — середина ребра $A_1B_1$. Поскольку $CC_1$ перпендикулярно $CM$, этот четырехугольник является прямоугольником. Его площадь $S$ равна произведению длин его сторон: $S = CC_1 \times CM$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$ по теореме Пифагора, зная катеты $AC = 30$ см и $BC = 40$ см:$AB^2 = AC^2 + BC^2$$AB = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. По условию, высота призмы $H$ равна гипотенузе ее основания. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра:$H = CC_1 = AB = 50$ см.

3. Найдем длину медианы $CM$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ см.

4. Теперь вычислим площадь сечения (прямоугольника $CC_1M_1M$):$S_{\text{сечения}} = CC_1 \times CM = 50 \text{ см} \times 25 \text{ см} = 1250 \text{ см}^2$.

Ответ: $1250 \text{ см}^2$.

16.25. Каждое ребро правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно $a$. Найдите:

1) площадь сечения призмы, проходящего через точки $A, B$ и $C_1$;

2) угол между плоскостью данного сечения и плоскостью основания призмы.

По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны $a$. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной $a$, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) являются квадратами со стороной $a$. Высота призмы также равна $a$.

1) площадь сечения призмы, проходящего через точки A, B и C₁;

Сечение, проходящее через точки $A$, $B$ и $C_1$, представляет собой треугольник $ABC_1$. Найдем длины его сторон.

Сторона $AB$ является ребром основания, поэтому ее длина равна $a$:
$AB = a$.

Стороны $AC_1$ и $BC_1$ являются диагоналями боковых граней $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ соответственно. Так как эти грани являются квадратами со стороной $a$, их диагонали равны. Найдем длину диагонали $AC_1$ из прямоугольного треугольника $ACC_1$ по теореме Пифагора:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$AC_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Аналогично, $BC_1 = a\sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB = a$ и боковыми сторонами $AC_1 = BC_1 = a\sqrt{2}$.

Для нахождения площади треугольника $S_{ABC_1}$ проведем высоту $C_1M$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $AB$, и $AM = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$. По теореме Пифагора найдем высоту $C_1M$:

$C_1M^2 = AC_1^2 - AM^2 = (a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{8a^2 - a^2}{4} = \frac{7a^2}{4}$.

$C_1M = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC_1$:

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^2\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$.

2) угол между плоскостью данного сечения и плоскостью основания призмы.

Требуется найти угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$.

Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая $AB$.

Угол между двумя плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Для его построения проведем в каждой плоскости перпендикуляр к линии пересечения $AB$ из одной и той же точки.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$.

В плоскости основания $(ABC)$ треугольник $ABC$ является равносторонним. Медиана $CM$ в нем является также и высотой, следовательно, $CM \perp AB$.

В плоскости сечения $(ABC_1)$ треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB$. Медиана $C_1M$ в нем также является высотой, следовательно, $C_1M \perp AB$.

Таким образом, искомый угол $\alpha$ между плоскостями равен углу между отрезками $CM$ и $C_1M$, то есть $\alpha = \angle C_1MC$.

Рассмотрим треугольник $C_1MC$.

Поскольку призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Значит, ребро $CC_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CM$. Следовательно, треугольник $C_1MC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle C_1CM = 90^\circ$.

Найдем длины катетов этого треугольника:

1. $CC_1 = a$ (длина бокового ребра по условию).

2. $CM$ — высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$. Ее длина вычисляется по формуле $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \text{сторона}$, то есть $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем найти тангенс угла $\alpha = \angle C_1MC$:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CC_1}{CM} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Можно также выразить угол через косинус. Для этого найдем гипотенузу $C_1M$ (которая была найдена в пункте 1): $C_1M = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CM}{C_1M} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Отсюда $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)$ или $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

16.26. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$. Плоскость, проходящая через прямую $AC$, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$ и пересекает ребро $BB_1$ в точке $D$. Найдите площадь образовавшегося сечения, если $\angle BAC = \alpha$, $BD = a$.

По условию задачи, дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, в частности, $BB_1 \perp (ABC)$.

Секущая плоскость проходит через прямую $AC$ и пересекает ребро $BB_1$ в точке $D$. Таким образом, сечением является треугольник $ACD$. Нам нужно найти его площадь $S_{ACD}$.

Угол между плоскостью сечения $(ACD)$ и плоскостью основания $(ABC)$ равен $\beta$. Найдем линейный угол этого двугранного угла. Линия пересечения плоскостей - это прямая $AC$.

В плоскости основания $(ABC)$ проведем перпендикуляр к линии пересечения $AC$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный с $\angle ACB = 90^\circ$, то катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$, то есть $BC \perp AC$.

Рассмотрим наклонную $DC$ к плоскости $(ABC)$ и ее проекцию $BC$. Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит $DB \perp BC$. Так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости $(ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $AC$.

Таким образом, угол между прямыми $BC$ и $DC$, то есть $\angle BCD$, является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ACD)$. Следовательно, $\angle BCD = \beta$.

Поскольку $DC \perp AC$, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD$. Его площадь можно вычислить по формуле: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC$.

Найдем длины катетов $AC$ и $DC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$. Так как призма прямая, $BB_1 \perp (ABC)$, а значит $DB \perp BC$, следовательно, $\angle DBC = 90^\circ$. По условию $BD = a$ и мы установили, что $\angle BCD = \beta$. Из $\triangle DBC$ находим: $BC = \frac{BD}{\tan(\beta)} = \frac{a}{\tan(\beta)} = a \cot(\beta)$. $DC = \frac{BD}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(\beta)}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ в основании призмы. Мы знаем, что $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$ и мы нашли $BC = a \cot(\beta)$. Из $\triangle ABC$ находим катет $AC$: $\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC}$, откуда $AC = \frac{BC}{\tan(\alpha)} = \frac{a \cot(\beta)}{\tan(\alpha)} = a \cot(\alpha) \cot(\beta)$.

Теперь можем вычислить площадь сечения $S_{ACD}$: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot (a \cot(\alpha) \cot(\beta)) \cdot \left(\frac{a}{\sin(\beta)}\right) = \frac{a^2 \cot(\alpha) \cot(\beta)}{2 \sin(\beta)}$.

Упростим полученное выражение, используя тождество $\cot(\beta) = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)}$: $S_{ACD} = \frac{a^2 \cot(\alpha) \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)}}{2 \sin(\beta)} = \frac{a^2 \cot(\alpha) \cos(\beta)}{2 \sin^2(\beta)}$.

Ответ: $\frac{a^2 \cot(\alpha) \cos(\beta)}{2 \sin^2(\beta)}$.

16.27. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$, большая диагональ ромба равна $d$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания провели плоскость, образующую с плоскостью нижнего основания призмы угол $\beta$. Найдите:

1) высоту призмы;

2) площадь образовавшегося сечения призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$. Острый угол ромба $\angle BAD = \alpha$, а большая диагональ $AC = d$. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$. В ромбе диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC = d/2$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ угол $\angle OAB = \angle BAD / 2 = \alpha/2$.

Сечение проходит через меньшую диагональ нижнего основания $BD$ и вершину острого угла верхнего основания. В ромбе $ABCD$ с острым углом $\alpha$ при вершине $A$, вершина $A_1$ верхнего основания также является вершиной острого угла. Выберем ее для построения сечения. Таким образом, сечением является треугольник $\triangle A_1BD$.

Угол между плоскостью сечения $(A_1BD)$ и плоскостью нижнего основания $(ABCD)$ равен $\beta$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $BD$. Для нахождения угла между плоскостями построим их линейный угол. В плоскости основания $(ABCD)$ отрезок $AO$ перпендикулярен диагонали $BD$ ($AO \perp BD$). Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AO$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BD$), то и сама наклонная ($A_1O$) перпендикулярна этой прямой. Значит, $A_1O \perp BD$.

Таким образом, угол $\angle A_1OA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, то есть $\angle A_1OA = \beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AO$ (прямой угол при вершине $A$, так как $AA_1$ — высота призмы).

1) высоту призмы;

Высота прямой призмы $H$ равна длине ее бокового ребра $AA_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AO$ катет $AA_1$ является противолежащим углу $\beta$, а катет $AO$ — прилежащим. Мы знаем, что $AO = d/2$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $$ \tan(\beta) = \frac{AA_1}{AO} $$

Отсюда выражаем высоту $H = AA_1$: $$ H = AA_1 = AO \cdot \tan(\beta) $$

Подставляя известное значение $AO = d/2$, получаем: $$ H = \frac{d}{2} \tan(\beta) $$

Ответ: $\frac{d}{2} \tan(\beta)$.

2) площадь образовавшегося сечения призмы.

Образовавшееся сечение — это треугольник $\triangle A_1BD$. Его площадь $S_{сеч}$ можно найти по формуле площади треугольника: $$ S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot A_1O $$ где $BD$ — основание, а $A_1O$ — высота треугольника, проведенная к этому основанию.

Сначала найдем длину меньшей диагонали $BD$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AOB$ имеем: $$ OB = AO \cdot \tan(\angle OAB) = \frac{d}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$ Так как $BD = 2 \cdot OB$, то: $$ BD = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Теперь найдем длину высоты $A_1O$ сечения. Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1AO$: $$ \cos(\beta) = \frac{AO}{A_1O} \implies A_1O = \frac{AO}{\cos(\beta)} = \frac{d/2}{\cos(\beta)} = \frac{d}{2\cos(\beta)} $$

Подставляем найденные значения $BD$ и $A_1O$ в формулу площади сечения: $$ S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{d}{2\cos(\beta)}\right) = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)} $$

В качестве проверки можно использовать формулу площади проекции. Проекцией сечения $\triangle A_1BD$ на плоскость основания является треугольник $\triangle ABD$. Его площадь: $$ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{d}{2} = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4} $$ Площадь сечения связана с площадью проекции соотношением $S_{сеч} = S_{ABD} / \cos(\beta)$. $$ S_{сеч} = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)} $$ Результаты совпадают.

Ответ: $\frac{d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})}{4\cos(\beta)}$.

2) площадь образовывающейся сечении призмы.

16.28. Сторона основания правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2 см, а боковое ребро – 6 см. Диагонали боковой грани $AA_1B_1B$ пересекаются в точке $D$. Найдите угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой (наклонной) и её проекцией на данную плоскость.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ – данная правильная призма. Её основание, треугольник $ABC$, является равносторонним со стороной 2 см, а боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания и равно 6 см.

Чтобы найти угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$, построим проекцию прямой $CD$ на эту плоскость. Для этого опустим перпендикуляр из точки $D$ на плоскость $ABC$. Пусть $H$ – основание этого перпендикуляра. Точка $C$ уже лежит в плоскости $ABC$, поэтому её проекция – это сама точка $C$. Таким образом, прямая $CH$ является проекцией прямой $CD$ на плоскость $ABC$, а искомый угол – это $\angle DCH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DCH$, в котором катет $DH$ перпендикулярен плоскости $ABC$ и, следовательно, катету $CH$, лежащему в этой плоскости ($\angle DHC = 90^\circ$).

1. Найдём длину катета $DH$.
Точка $D$ является точкой пересечения диагоналей боковой грани $AA_1B_1B$. Так как призма правильная, эта грань является прямоугольником. Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $D$ является серединой диагонали $A_1B$. Высота точки $D$ над плоскостью $ABC$ равна полувысоте призмы (по теореме Фалеса или из подобия треугольников). Длина бокового ребра $AA_1$ равна 6 см, поэтому:
$DH = \frac{1}{2} \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

2. Найдём длину катета $CH$.
Проекцией отрезка $A_1B$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$. Поскольку $D$ – середина $A_1B$, её проекция $H$ является серединой отрезка $AB$. В основании призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 2 см. Отрезок $CH$ соединяет вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $AB$, то есть $CH$ является медианой треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длину высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=2$ см:
$CH = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

3. Найдём искомый угол $\angle DCH$.
В прямоугольном треугольнике $DCH$ тангенс угла $\angle DCH$ равен отношению противолежащего катета $DH$ к прилежащему катету $CH$:
$\tan(\angle DCH) = \frac{DH}{CH} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, равен $60^\circ$.
Следовательно, искомый угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

16.29. Сторона основания правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 1 см, а боковое ребро $-$ $\sqrt{5}$ см. Диагонали боковой грани $CC_1D_1D$ пересекаются в точке $M$. Найдите угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$.

По условию, призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является правильной. Это означает, что её основание $ABCD$ — правильный четырёхугольник, то есть квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания.

Дано:

• Сторона основания $AB = BC = CD = DA = 1$ см.
• Боковое ребро (высота призмы) $CC_1 = \sqrt{5}$ см.

Точка $M$ — точка пересечения диагоналей боковой грани $CC_1D_1D$. Так как грань $CC_1D_1D$ является прямоугольником, её диагонали $CD_1$ и $C_1D$ в точке пересечения $M$ делятся пополам. Таким образом, $M$ — середина отрезков $CD_1$ и $C_1D$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти угол между прямой $AM$ и плоскостью основания $ABC$.

Для этого найдём проекцию прямой $AM$ на плоскость $ABC$.1. Точка $A$ принадлежит плоскости $ABC$, следовательно, её проекция — это сама точка $A$.2. Найдём проекцию точки $M$ на плоскость $ABC$. Опустим перпендикуляр $MP$ из точки $M$ на плоскость $ABC$. Точка $P$ будет проекцией точки $M$.

Поскольку боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$ является точка $D$, а проекцией точки $C$ является сама точка $C$. Так как $M$ — середина отрезка $CD_1$, её проекция $P$ будет серединой проекции этого отрезка, то есть серединой отрезка $CD$.

Таким образом, прямая $AP$ является проекцией прямой $AM$ на плоскость $ABC$. Искомый угол — это угол $\angle MAP$ в треугольнике $\triangle AMP$. Так как $MP$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а прямая $AP$ лежит в этой плоскости, то $MP \perp AP$. Следовательно, $\triangle AMP$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $P$.

Найдём длины катетов этого треугольника:

1. Длина катета $MP$ равна расстоянию от точки $M$ до плоскости $ABC$. Так как $M$ — середина отрезка $CD_1$, её высота над плоскостью основания равна полусумме высот точек $C$ и $D_1$. Высота точки $C$ равна 0, а высота точки $D_1$ равна длине бокового ребра $DD_1 = \sqrt{5}$. $MP = \frac{0 + DD_1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

2. Длину катета $AP$ найдём, рассмотрев основание призмы — квадрат $ABCD$. Точка $P$ — середина стороны $CD$, поэтому $DP = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2}$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADP$ (угол $\angle D = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AP^2 = AD^2 + DP^2$ $AP^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ $AP = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AMP$ катеты $MP = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $AP = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Так как катеты равны, этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы в таком треугольнике равны $45^\circ$.

Следовательно, искомый угол $\angle MAP = 45^\circ$.

Это же можно получить через тангенс угла:$\tan(\angle MAP) = \frac{MP}{AP} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = 1$.Отсюда $\angle MAP = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

16.30. Стороны основания прямой треугольной призмы равны 5 см, 12 см и 13 см, а площадь полной поверхности – 270 $см^2$. Найдите высоту призмы.

Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Нахождение площади основания
Основанием призмы является треугольник со сторонами $a=5$ см, $b=12$ см и $c=13$ см. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$13^2 = 169$
Поскольку $5^2 + 12^2 = 13^2$, треугольник в основании является прямоугольным. Его катеты равны 5 см и 12 см.Площадь основания $S_{осн}$ как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

Нахождение площади боковой поверхности
Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра ее основания $P_{осн}$ на высоту $h$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Периметр основания — это сумма длин его сторон:
$P_{осн} = 5 + 12 + 13 = 30$ см.
Следовательно, площадь боковой поверхности выражается через высоту как: $S_{бок} = 30h$.

Нахождение высоты призмы
Подставим все известные значения в формулу полной поверхности призмы, зная, что $S_{полн} = 270$ см$^2$:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$
$270 = 2 \cdot 30 + 30h$
$270 = 60 + 30h$
$30h = 270 - 60$
$30h = 210$
$h = \frac{210}{30}$
$h = 7$ см.

Ответ: 7 см.

16.31. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна $96 \text{ см}^2$, а площадь полной поверхности – $128 \text{ см}^2$. Найдите высоту призмы.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) правильной призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь одного основания.

Используя данные из условия, найдем сначала площадь одного основания. Суммарная площадь двух оснований равна разности полной и боковой поверхностей:
$2 \cdot S_{осн} = S_{полн} - S_{бок} = 128 - 96 = 32 \text{ см}^2$.

Следовательно, площадь одного основания составляет:
$S_{осн} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}^2$.

В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда площадь основания равна $S_{осн} = a^2$. Найдем длину стороны основания:
$a^2 = 16 \text{ см}^2$
$a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$). Периметр основания в нашем случае равен $P_{осн} = 4a$.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot h$.

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти высоту $h$:
$96 = 4 \cdot 4 \cdot h$
$96 = 16 \cdot h$
$h = \frac{96}{16}$
$h = 6 \text{ см}$.

Ответ: 6 см.