Номер 27, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 27, страница 155.

Условие.

16.27. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$, большая диагональ ромба равна $d$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания провели плоскость, образующую с плоскостью нижнего основания призмы угол $\beta$. Найдите:

1) высоту призмы;

2) площадь образовавшегося сечения призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$. Острый угол ромба $\angle BAD = \alpha$, а большая диагональ $AC = d$. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$. В ромбе диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC = d/2$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ угол $\angle OAB = \angle BAD / 2 = \alpha/2$.

Сечение проходит через меньшую диагональ нижнего основания $BD$ и вершину острого угла верхнего основания. В ромбе $ABCD$ с острым углом $\alpha$ при вершине $A$, вершина $A_1$ верхнего основания также является вершиной острого угла. Выберем ее для построения сечения. Таким образом, сечением является треугольник $\triangle A_1BD$.

Угол между плоскостью сечения $(A_1BD)$ и плоскостью нижнего основания $(ABCD)$ равен $\beta$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $BD$. Для нахождения угла между плоскостями построим их линейный угол. В плоскости основания $(ABCD)$ отрезок $AO$ перпендикулярен диагонали $BD$ ($AO \perp BD$). Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AO$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BD$), то и сама наклонная ($A_1O$) перпендикулярна этой прямой. Значит, $A_1O \perp BD$.

Таким образом, угол $\angle A_1OA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, то есть $\angle A_1OA = \beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AO$ (прямой угол при вершине $A$, так как $AA_1$ — высота призмы).

1) высоту призмы;

Высота прямой призмы $H$ равна длине ее бокового ребра $AA_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AO$ катет $AA_1$ является противолежащим углу $\beta$, а катет $AO$ — прилежащим. Мы знаем, что $AO = d/2$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $$ \tan(\beta) = \frac{AA_1}{AO} $$

Отсюда выражаем высоту $H = AA_1$: $$ H = AA_1 = AO \cdot \tan(\beta) $$

Подставляя известное значение $AO = d/2$, получаем: $$ H = \frac{d}{2} \tan(\beta) $$

Ответ: $\frac{d}{2} \tan(\beta)$.

2) площадь образовавшегося сечения призмы.

Образовавшееся сечение — это треугольник $\triangle A_1BD$. Его площадь $S_{сеч}$ можно найти по формуле площади треугольника: $$ S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot A_1O $$ где $BD$ — основание, а $A_1O$ — высота треугольника, проведенная к этому основанию.

Сначала найдем длину меньшей диагонали $BD$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AOB$ имеем: $$ OB = AO \cdot \tan(\angle OAB) = \frac{d}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$ Так как $BD = 2 \cdot OB$, то: $$ BD = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Теперь найдем длину высоты $A_1O$ сечения. Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1AO$: $$ \cos(\beta) = \frac{AO}{A_1O} \implies A_1O = \frac{AO}{\cos(\beta)} = \frac{d/2}{\cos(\beta)} = \frac{d}{2\cos(\beta)} $$

Подставляем найденные значения $BD$ и $A_1O$ в формулу площади сечения: $$ S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{d}{2\cos(\beta)}\right) = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)} $$

В качестве проверки можно использовать формулу площади проекции. Проекцией сечения $\triangle A_1BD$ на плоскость основания является треугольник $\triangle ABD$. Его площадь: $$ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{d}{2} = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4} $$ Площадь сечения связана с площадью проекции соотношением $S_{сеч} = S_{ABD} / \cos(\beta)$. $$ S_{сеч} = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)} $$ Результаты совпадают.

Ответ: $\frac{d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})}{4\cos(\beta)}$.