Номер 31, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 31, страница 155.

Условие.

16.31. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна $96 \text{ см}^2$, а площадь полной поверхности – $128 \text{ см}^2$. Найдите высоту призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) правильной призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь одного основания.

Используя данные из условия, найдем сначала площадь одного основания. Суммарная площадь двух оснований равна разности полной и боковой поверхностей:
$2 \cdot S_{осн} = S_{полн} - S_{бок} = 128 - 96 = 32 \text{ см}^2$.

Следовательно, площадь одного основания составляет:
$S_{осн} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}^2$.

В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда площадь основания равна $S_{осн} = a^2$. Найдем длину стороны основания:
$a^2 = 16 \text{ см}^2$
$a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$). Периметр основания в нашем случае равен $P_{осн} = 4a$.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot h$.

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти высоту $h$:
$96 = 4 \cdot 4 \cdot h$
$96 = 16 \cdot h$
$h = \frac{96}{16}$
$h = 6 \text{ см}$.

Ответ: 6 см.