Номер 37, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 37, страница 156.

Условие.

16.37. Плоскости граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ перпендикулярны, $AA_1 = 9$ см. Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 8 см, а между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ – 15 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение — это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. Пусть $A'B'C'$ — перпендикулярное сечение данной призмы, построенное так, что его плоскость перпендикулярна боковому ребру $AA_1$ (и, следовательно, всем остальным боковым рёбрам). Вершины $A'$, $B'$, $C'$ лежат на боковых рёбрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ соответственно.

Длины сторон перпендикулярного сечения равны расстояниям между соответствующими боковыми рёбрами.Расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $BB_1$ — это длина их общего перпендикуляра. Так как отрезок $A'B'$ лежит в плоскости, перпендикулярной этим прямым, и соединяет их, его длина равна заданному расстоянию. Таким образом, $A'B' = 8$ см.

Аналогично, расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $CC_1$ равно длине отрезка $A'C'$. Таким образом, $A'C' = 15$ см.

По условию, плоскости граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ перпендикулярны. Линия их пересечения — боковое ребро $AA_1$. Угол между этими плоскостями равен углу между двумя прямыми, проведёнными в этих плоскостях перпендикулярно к линии пересечения $AA_1$ в одной точке. Отрезки $A'B'$ и $A'C'$ перпендикулярны ребру $AA_1$ в точке $A'$. Следовательно, угол между ними равен углу между плоскостями граней, то есть $\angle B'A'C' = 90^\circ$.

Это означает, что перпендикулярное сечение $A'B'C'$ является прямоугольным треугольником с катетами $A'B' = 8$ см и $A'C' = 15$ см.

Найдем гипотенузу $B'C'$ этого треугольника по теореме Пифагора:$(B'C')^2 = (A'B')^2 + (A'C')^2$$(B'C')^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$B'C' = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь мы можем найти периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$:$P_{\perp} = A'B' + A'C' + B'C' = 8 + 15 + 17 = 40$ см.

Длина бокового ребра дана по условию: $l = AA_1 = 9$ см.Вычислим площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 40 \cdot 9 = 360$ см$^2$.

Ответ: 360 см$^2$.