Номер 30, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 30, страница 155.

Условие.

16.30. Стороны основания прямой треугольной призмы равны 5 см, 12 см и 13 см, а площадь полной поверхности – 270 $см^2$. Найдите высоту призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Нахождение площади основания
Основанием призмы является треугольник со сторонами $a=5$ см, $b=12$ см и $c=13$ см. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$13^2 = 169$
Поскольку $5^2 + 12^2 = 13^2$, треугольник в основании является прямоугольным. Его катеты равны 5 см и 12 см.Площадь основания $S_{осн}$ как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

Нахождение площади боковой поверхности
Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра ее основания $P_{осн}$ на высоту $h$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Периметр основания — это сумма длин его сторон:
$P_{осн} = 5 + 12 + 13 = 30$ см.
Следовательно, площадь боковой поверхности выражается через высоту как: $S_{бок} = 30h$.

Нахождение высоты призмы
Подставим все известные значения в формулу полной поверхности призмы, зная, что $S_{полн} = 270$ см$^2$:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$
$270 = 2 \cdot 30 + 30h$
$270 = 60 + 30h$
$30h = 270 - 60$
$30h = 210$
$h = \frac{210}{30}$
$h = 7$ см.

Ответ: 7 см.