Номер 35, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 35, страница 156.

Условие.

16.35. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является равнобокая трапеция $ABCD$, основания которой $BC$ и $AD$ соответственно равны 11 см и 21 см, а боковая сторона — 13 см. Площадь диагонального сечения призмы равна $180 \text{ см}^2$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности призмы;

2) площадь сечения призмы, проходящего через рёбра $AD$ и $B_1C_1$.

Решение 1.

Решение 3.

1) площадь боковой поверхности призмы
Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.
Основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=11$ см, $AD=21$ см и боковыми сторонами $AB=CD=13$ см. Найдем периметр основания:
$P_{осн} = AD + BC + AB + CD = 21 + 11 + 13 + 13 = 58$ см.
Чтобы найти высоту призмы $h$, воспользуемся данными о площади диагонального сечения. Диагональное сечение, например $ACC_1A_1$, является прямоугольником, и его площадь равна $S_{ACC_1A_1} = AC \cdot h$. По условию $S_{ACC_1A_1} = 180$ см². Для нахождения $h$ сначала вычислим длину диагонали основания $AC$.
Проведем в трапеции $ABCD$ высоту $CH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 11}{2} = 5$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции $CH$:
$CH = \sqrt{CD^2 - HD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Длина катета $AH$ равна $AD - HD = 21 - 5 = 16$ см. По теореме Пифагора найдем длину диагонали $AC$:
$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.
Зная длину диагонали $AC$, найдем высоту призмы $h$:
$h = \frac{S_{ACC_1A_1}}{AC} = \frac{180}{20} = 9$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 58 \cdot 9 = 522$ см².
Ответ: 522 см².

2) площадь сечения призмы, проходящего через рёбра $AD$ и $B_1C_1$
Сечение, проходящее через параллельные рёбра $AD$ и $B_1C_1$, является трапецией $AB_1C_1D$. Основания этой трапеции — $AD=21$ см и $B_1C_1 = BC = 11$ см.
Для нахождения площади этой трапеции нужно найти её высоту. Высотой трапеции $AB_1C_1D$ является отрезок, соединяющий середины её оснований. Обозначим $M$ — середину $AD$, а $N_1$ — середину $B_1C_1$. Тогда высота сечения $h_{сеч} = MN_1$.
Чтобы найти длину $MN_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $MNN_1$, где $N$ — середина ребра $BC$. Отрезок $MN$ соединяет середины оснований трапеции $ABCD$ и, следовательно, является её высотой. Из пункта 1 известно, что высота трапеции $ABCD$ равна 12 см, то есть $MN = 12$ см.
Отрезок $NN_1$ соединяет середины параллельных рёбер $BC$ и $B_1C_1$. Его длина равна высоте призмы $h$. Из пункта 1 известно, что $h = 9$ см, то есть $NN_1 = 9$ см.
Поскольку призма прямая, её боковое ребро $NN_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и отрезку $MN$, лежащему в этой плоскости. Таким образом, треугольник $MNN_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MN_1$, которая и является высотой сечения $AB_1C_1D$:
$h_{сеч} = MN_1 = \sqrt{MN^2 + NN_1^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.
Теперь вычислим площадь трапеции-сечения $AB_1C_1D$ по формуле:
$S_{сеч} = \frac{AD + B_1C_1}{2} \cdot h_{сеч} = \frac{21 + 11}{2} \cdot 15 = \frac{32}{2} \cdot 15 = 16 \cdot 15 = 240$ см².
Ответ: 240 см².