Номер 29, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 29, страница 155.

Условие.

16.29. Сторона основания правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 1 см, а боковое ребро $-$ $\sqrt{5}$ см. Диагонали боковой грани $CC_1D_1D$ пересекаются в точке $M$. Найдите угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию, призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является правильной. Это означает, что её основание $ABCD$ — правильный четырёхугольник, то есть квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания.

Дано:

• Сторона основания $AB = BC = CD = DA = 1$ см.
• Боковое ребро (высота призмы) $CC_1 = \sqrt{5}$ см.

Точка $M$ — точка пересечения диагоналей боковой грани $CC_1D_1D$. Так как грань $CC_1D_1D$ является прямоугольником, её диагонали $CD_1$ и $C_1D$ в точке пересечения $M$ делятся пополам. Таким образом, $M$ — середина отрезков $CD_1$ и $C_1D$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти угол между прямой $AM$ и плоскостью основания $ABC$.

Для этого найдём проекцию прямой $AM$ на плоскость $ABC$.1. Точка $A$ принадлежит плоскости $ABC$, следовательно, её проекция — это сама точка $A$.2. Найдём проекцию точки $M$ на плоскость $ABC$. Опустим перпендикуляр $MP$ из точки $M$ на плоскость $ABC$. Точка $P$ будет проекцией точки $M$.

Поскольку боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$ является точка $D$, а проекцией точки $C$ является сама точка $C$. Так как $M$ — середина отрезка $CD_1$, её проекция $P$ будет серединой проекции этого отрезка, то есть серединой отрезка $CD$.

Таким образом, прямая $AP$ является проекцией прямой $AM$ на плоскость $ABC$. Искомый угол — это угол $\angle MAP$ в треугольнике $\triangle AMP$. Так как $MP$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а прямая $AP$ лежит в этой плоскости, то $MP \perp AP$. Следовательно, $\triangle AMP$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $P$.

Найдём длины катетов этого треугольника:

1. Длина катета $MP$ равна расстоянию от точки $M$ до плоскости $ABC$. Так как $M$ — середина отрезка $CD_1$, её высота над плоскостью основания равна полусумме высот точек $C$ и $D_1$. Высота точки $C$ равна 0, а высота точки $D_1$ равна длине бокового ребра $DD_1 = \sqrt{5}$. $MP = \frac{0 + DD_1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

2. Длину катета $AP$ найдём, рассмотрев основание призмы — квадрат $ABCD$. Точка $P$ — середина стороны $CD$, поэтому $DP = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2}$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADP$ (угол $\angle D = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AP^2 = AD^2 + DP^2$ $AP^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ $AP = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AMP$ катеты $MP = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $AP = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Так как катеты равны, этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы в таком треугольнике равны $45^\circ$.

Следовательно, искомый угол $\angle MAP = 45^\circ$.

Это же можно получить через тангенс угла:$\tan(\angle MAP) = \frac{MP}{AP} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = 1$.Отсюда $\angle MAP = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.