Номер 24, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 24, страница 155.

Условие.

16.24. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$, отрезок $CM$ – медиана треугольника $ABC$. Высота призмы равна гипотенузе её основания. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через прямые $CC_1$ и $CM$, если $AC = 30$ см, $BC = 40$ см.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$. Сечение призмы проходит через прямые $CC_1$ и $CM$. Прямая $CC_1$ является боковым ребром призмы. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $C$, в том числе и медиане $CM$. Таким образом, угол между прямыми $CC_1$ и $CM$ равен $90^\circ$.

Сечение, проходящее через прямые $CC_1$ и $CM$, представляет собой четырехугольник $CC_1M_1M$, где $M_1$ — середина ребра $A_1B_1$. Поскольку $CC_1$ перпендикулярно $CM$, этот четырехугольник является прямоугольником. Его площадь $S$ равна произведению длин его сторон: $S = CC_1 \times CM$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$ по теореме Пифагора, зная катеты $AC = 30$ см и $BC = 40$ см:$AB^2 = AC^2 + BC^2$$AB = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. По условию, высота призмы $H$ равна гипотенузе ее основания. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра:$H = CC_1 = AB = 50$ см.

3. Найдем длину медианы $CM$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ см.

4. Теперь вычислим площадь сечения (прямоугольника $CC_1M_1M$):$S_{\text{сечения}} = CC_1 \times CM = 50 \text{ см} \times 25 \text{ см} = 1250 \text{ см}^2$.

Ответ: $1250 \text{ см}^2$.