Номер 25, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 25, страница 155.

Условие.

16.25. Каждое ребро правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно $a$. Найдите:

1) площадь сечения призмы, проходящего через точки $A, B$ и $C_1$;

2) угол между плоскостью данного сечения и плоскостью основания призмы.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны $a$. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной $a$, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) являются квадратами со стороной $a$. Высота призмы также равна $a$.

1) площадь сечения призмы, проходящего через точки A, B и C₁;

Сечение, проходящее через точки $A$, $B$ и $C_1$, представляет собой треугольник $ABC_1$. Найдем длины его сторон.

Сторона $AB$ является ребром основания, поэтому ее длина равна $a$:
$AB = a$.

Стороны $AC_1$ и $BC_1$ являются диагоналями боковых граней $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ соответственно. Так как эти грани являются квадратами со стороной $a$, их диагонали равны. Найдем длину диагонали $AC_1$ из прямоугольного треугольника $ACC_1$ по теореме Пифагора:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$AC_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Аналогично, $BC_1 = a\sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB = a$ и боковыми сторонами $AC_1 = BC_1 = a\sqrt{2}$.

Для нахождения площади треугольника $S_{ABC_1}$ проведем высоту $C_1M$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $AB$, и $AM = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$. По теореме Пифагора найдем высоту $C_1M$:

$C_1M^2 = AC_1^2 - AM^2 = (a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{8a^2 - a^2}{4} = \frac{7a^2}{4}$.

$C_1M = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC_1$:

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^2\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$.

2) угол между плоскостью данного сечения и плоскостью основания призмы.

Требуется найти угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$.

Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая $AB$.

Угол между двумя плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Для его построения проведем в каждой плоскости перпендикуляр к линии пересечения $AB$ из одной и той же точки.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$.

В плоскости основания $(ABC)$ треугольник $ABC$ является равносторонним. Медиана $CM$ в нем является также и высотой, следовательно, $CM \perp AB$.

В плоскости сечения $(ABC_1)$ треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB$. Медиана $C_1M$ в нем также является высотой, следовательно, $C_1M \perp AB$.

Таким образом, искомый угол $\alpha$ между плоскостями равен углу между отрезками $CM$ и $C_1M$, то есть $\alpha = \angle C_1MC$.

Рассмотрим треугольник $C_1MC$.

Поскольку призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Значит, ребро $CC_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CM$. Следовательно, треугольник $C_1MC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle C_1CM = 90^\circ$.

Найдем длины катетов этого треугольника:

1. $CC_1 = a$ (длина бокового ребра по условию).

2. $CM$ — высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$. Ее длина вычисляется по формуле $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \text{сторона}$, то есть $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем найти тангенс угла $\alpha = \angle C_1MC$:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CC_1}{CM} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Можно также выразить угол через косинус. Для этого найдем гипотенузу $C_1M$ (которая была найдена в пункте 1): $C_1M = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CM}{C_1M} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Отсюда $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)$ или $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.