Номер 23, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 23, страница 155.

Условие.

16.23. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$.

Через прямую $CC_1$ проведена плоскость, перпендикулярная прямой $AB$ и пересекающая ребро $AB$ в точке $D$.

Найдите площадь получившегося сечения призмы, если $AD = 18$ см, $BD = 2$ см, а высота призмы равна 8 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle ACB = 90^\circ$. Высота призмы $h = CC_1 = 8$ см.

Через ребро $CC_1$ проведена секущая плоскость, которая перпендикулярна прямой $AB$ и пересекает ее в точке $D$. Сечением призмы будет четырехугольник, образованный пересечением этой плоскости с гранями призмы. Так как плоскость проходит через $CC_1$, то две вершины сечения — это точки $C$ и $C_1$. Третья вершина — точка $D$ на ребре $AB$. Поскольку призма прямая, верхнее основание $A_1B_1C_1$ параллельно нижнему $ABC$. Следовательно, секущая плоскость пересечет ребро $A_1B_1$ в точке $D_1$ так, что $CDD_1C_1$ будет искомым сечением.

Так как призма прямая, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $CD$. Следовательно, $\angle C_1CD = 90^\circ$. Таким образом, сечение $CDD_1C_1$ является прямоугольником.

Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{\text{сечения}} = CD \cdot CC_1$.

Найдем длину отрезка $CD$. По условию, секущая плоскость перпендикулярна прямой $AB$. Отрезок $CD$ лежит в секущей плоскости и соединяет точку $C$ с точкой $D$ на прямой $AB$. Следовательно, отрезок $CD$ перпендикулярен прямой $AB$. Таким образом, $CD$ — это высота прямоугольного треугольника $ABC$, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Проекциями катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу $AB$ являются отрезки $AD$ и $BD$ соответственно.

По условию, $AD = 18$ см и $BD = 2$ см.

Тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

$CD^2 = AD \cdot BD$

$CD^2 = 18 \cdot 2 = 36$

$CD = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения, зная, что $CD = 6$ см и высота призмы $CC_1 = 8$ см.

$S_{\text{сечения}} = CD \cdot CC_1 = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: 48 см$^2$.