Номер 16, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 16, страница 154.

Условие.

16.16. Угол между боковым ребром и плоскостью основания наклонной призмы равен $30^\circ$, высота призмы равна 10 см. Найдите боковое ребро призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $L$ — длина бокового ребра наклонной призмы, $H$ — её высота, а $\alpha$ — угол между боковым ребром и плоскостью основания.

По условию задачи дано:

• Высота призмы $H = 10$ см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания $\alpha = 30^\circ$.

Угол между прямой (в нашем случае, боковым ребром) и плоскостью (основанием) определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют боковое ребро, высота призмы и проекция бокового ребра на плоскость основания. В этом треугольнике:

• боковое ребро $L$ является гипотенузой;
• высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Для нахождения гипотенузы через известный противолежащий катет и угол используется тригонометрическая функция синус:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{H}{L}$

Из этого соотношения выразим длину бокового ребра $L$:

$L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$

Подставим в формулу известные значения $H = 10$ и $\alpha = 30^\circ$:

$L = \frac{10}{\sin(30^\circ)}$

Значение синуса 30 градусов является табличной величиной: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Тогда:

$L = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot 2 = 20$ см.

Ответ: 20 см.