Номер 15, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 15, страница 154.

Условие.

16.15. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна $a$, а высота равна $H$.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

1. Найдем площадь основания призмы. В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых прямоугольников, так как призма является правильной. Стороны каждого прямоугольника равны стороне основания $a$ и высоте призмы $H$. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих трех прямоугольников:

$S_{бок} = 3 \cdot (a \cdot H) = 3aH$

3. Теперь найдем площадь полной поверхности, подставив найденные значения в исходную формулу:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 3aH + 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Упростим полученное выражение:

$S_{полн} = 3aH + \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $S_{полн} = 3aH + \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$