Номер 20, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 20, страница 154.

Условие.

16.20. Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, каждое ребро которой равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию, дана правильная шестиугольная призма, у которой каждое ребро равно $a$. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a$, и высота призмы $h$ также равна $a$.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. В данной призме существует два вида таких (пространственных) диагоналей, которые различаются по длине. Чтобы их найти, сначала необходимо определить длины диагоналей основания.

Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a$. У него есть два типа диагоналей:

• Малая диагональ ($d_{1}$), которая соединяет вершины через одну. Её длину можно найти по теореме косинусов. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Для треугольника со сторонами $a$, $a$ и углом $120^\circ$ между ними:
  $d_{1}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
  Следовательно, $d_{1} = a\sqrt{3}$.
• Большая диагональ ($d_{2}$), которая соединяет противоположные вершины. Её длина равна удвоенной стороне шестиугольника, так как она проходит через его центр:
  $d_{2} = 2a$.

Теперь можно найти длины диагоналей самой призмы. Каждая диагональ призмы является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота призмы $h=a$ и соответствующая диагональ основания.

Меньшая диагональ призмы

Эта диагональ, обозначим ее $D_{1}$, опирается на малую диагональ основания $d_{1} = a\sqrt{3}$. Применяя теорему Пифагора, получаем:
$D_{1}^2 = d_{1}^2 + h^2 = (a\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$
$D_{1} = \sqrt{4a^2} = 2a$

Большая диагональ призмы

Эта диагональ, обозначим ее $D_{2}$, опирается на большую диагональ основания $d_{2} = 2a$. Применяя теорему Пифагора, получаем:
$D_{2}^2 = d_{2}^2 + h^2 = (2a)^2 + a^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2$
$D_{2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Ответ: диагонали призмы равны $2a$ и $a\sqrt{5}$.