Номер 26, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 26, страница 155.

Условие.

16.26. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$. Плоскость, проходящая через прямую $AC$, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$ и пересекает ребро $BB_1$ в точке $D$. Найдите площадь образовавшегося сечения, если $\angle BAC = \alpha$, $BD = a$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, в частности, $BB_1 \perp (ABC)$.

Секущая плоскость проходит через прямую $AC$ и пересекает ребро $BB_1$ в точке $D$. Таким образом, сечением является треугольник $ACD$. Нам нужно найти его площадь $S_{ACD}$.

Угол между плоскостью сечения $(ACD)$ и плоскостью основания $(ABC)$ равен $\beta$. Найдем линейный угол этого двугранного угла. Линия пересечения плоскостей - это прямая $AC$.

В плоскости основания $(ABC)$ проведем перпендикуляр к линии пересечения $AC$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный с $\angle ACB = 90^\circ$, то катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$, то есть $BC \perp AC$.

Рассмотрим наклонную $DC$ к плоскости $(ABC)$ и ее проекцию $BC$. Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит $DB \perp BC$. Так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости $(ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $AC$.

Таким образом, угол между прямыми $BC$ и $DC$, то есть $\angle BCD$, является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ACD)$. Следовательно, $\angle BCD = \beta$.

Поскольку $DC \perp AC$, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD$. Его площадь можно вычислить по формуле: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC$.

Найдем длины катетов $AC$ и $DC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$. Так как призма прямая, $BB_1 \perp (ABC)$, а значит $DB \perp BC$, следовательно, $\angle DBC = 90^\circ$. По условию $BD = a$ и мы установили, что $\angle BCD = \beta$. Из $\triangle DBC$ находим: $BC = \frac{BD}{\tan(\beta)} = \frac{a}{\tan(\beta)} = a \cot(\beta)$. $DC = \frac{BD}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(\beta)}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ в основании призмы. Мы знаем, что $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$ и мы нашли $BC = a \cot(\beta)$. Из $\triangle ABC$ находим катет $AC$: $\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC}$, откуда $AC = \frac{BC}{\tan(\alpha)} = \frac{a \cot(\beta)}{\tan(\alpha)} = a \cot(\alpha) \cot(\beta)$.

Теперь можем вычислить площадь сечения $S_{ACD}$: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot (a \cot(\alpha) \cot(\beta)) \cdot \left(\frac{a}{\sin(\beta)}\right) = \frac{a^2 \cot(\alpha) \cot(\beta)}{2 \sin(\beta)}$.

Упростим полученное выражение, используя тождество $\cot(\beta) = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)}$: $S_{ACD} = \frac{a^2 \cot(\alpha) \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)}}{2 \sin(\beta)} = \frac{a^2 \cot(\alpha) \cos(\beta)}{2 \sin^2(\beta)}$.

Ответ: $\frac{a^2 \cot(\alpha) \cos(\beta)}{2 \sin^2(\beta)}$.