Номер 33, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 33, страница 156.

Условие.

16.33. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной призмы равна $S$. Чему равна площадь боковой поверхности призмы?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основанию (призма прямая).

Диагональное сечение представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота призмы $h$ и диагональ основания $d$. Найдём диагональ основания (квадрата со стороной $a$) по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь диагонального сечения, по условию равная $S$, вычисляется как произведение его сторон:

$S = d \cdot h = (a\sqrt{2}) \cdot h = ah\sqrt{2}$.

Из этого выражения мы можем выразить произведение стороны основания на высоту:

$ah = \frac{S}{\sqrt{2}}$.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания (квадрата) равен $P = 4a$.

$S_{бок} = P \cdot h = (4a) \cdot h = 4ah$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для $ah$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot \left(\frac{S}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4S}{\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S_{бок} = \frac{4S \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4S\sqrt{2}}{2} = 2S\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}S$.