Номер 34, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 34, страница 156.

Условие.

16.34. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 5 см, а диагональ боковой грани – 4 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Дано:

Правильная четырёхугольная призма.

Диагональ призмы $D = 5$ см.

Диагональ боковой грани $d_{бок} = 4$ см.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной призмы, а $h$ — её высота (длина бокового ребра).

Так как призма правильная, в её основании лежит квадрат, а боковые грани являются прямоугольниками.

Рассмотрим боковую грань. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Его диагональ $d_{бок}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$ и $h$. По теореме Пифагора:

$a^2 + h^2 = d_{бок}^2$

$a^2 + h^2 = 4^2$

$a^2 + h^2 = 16$ (1)

Теперь рассмотрим диагональ призмы $D$. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений ($a$, $a$ и $h$).

$D^2 = a^2 + a^2 + h^2$

$D^2 = 2a^2 + h^2$

Подставим известное значение $D=5$ см:

$5^2 = 2a^2 + h^2$

$25 = 2a^2 + h^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($a^2$ и $h^2$):

$\begin{cases} a^2 + h^2 = 16 \\ 2a^2 + h^2 = 25 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 25 - 16$

$a^2 = 9$

Отсюда находим сторону основания: $a = \sqrt{9} = 3$ см.

Подставим значение $a^2 = 9$ в первое уравнение, чтобы найти высоту $h$:

$9 + h^2 = 16$

$h^2 = 16 - 9 = 7$

Отсюда находим высоту: $h = \sqrt{7}$ см.

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

1. Площадь основания $S_{осн}$ — это площадь квадрата со стороной $a=3$ см:

$S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.

2. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ — это сумма площадей четырёх одинаковых прямоугольных граней со сторонами $a=3$ см и $h=\sqrt{7}$ см. Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4a) \cdot h = 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 12\sqrt{7}$ см$^2$.

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 9 + 12\sqrt{7} = 18 + 12\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $18 + 12\sqrt{7}$ см$^2$.