Номер 32, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 32, страница 156.

Условие.

16.32. Вычислите площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы, диагональ которой равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°.

Решение 1.

Решение 3.

Правильная четырёхугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит квадрат. Диагональ призмы, её высота и диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона диагонали призмы к плоскости основания является углом между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость, то есть диагональю основания.

Пусть $D$ — диагональ призмы, $H$ — её высота, $d$ — диагональ квадратного основания. По условию, $D = 12$ см, а угол между $D$ и $d$ равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы $D$ (гипотенуза), высотой $H$ (катет) и диагональю основания $d$ (катет). Используя тригонометрические соотношения, найдём $H$ и $d$:

Высота призмы:

$H = D \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Диагональ основания:

$d = D \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Найдём площадь основания.

Основание — квадрат. Площадь квадрата можно найти через его диагональ $d$:

$S_{осн} = \frac{d^2}{2} = \frac{(6\sqrt{3})^2}{2} = \frac{36 \cdot 3}{2} = \frac{108}{2} = 54$ см$^2$.

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$. Сначала найдём сторону основания $a$. Для квадрата $d = a\sqrt{2}$, откуда:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6}$ см.

Периметр основания:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 3\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 12\sqrt{6} \cdot 6 = 72\sqrt{6}$ см$^2$.

3. Найдём площадь полной поверхности.

Теперь можем вычислить площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 72\sqrt{6} + 2 \cdot 54 = 72\sqrt{6} + 108$ см$^2$.

Можно вынести общий множитель за скобки:

$S_{полн} = 36(2\sqrt{6} + 3)$ см$^2$.

Ответ: $108 + 72\sqrt{6}$ см$^2$.