Номер 36, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 36, страница 156.

Условие.

16.36. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна 10 см, а площадь боковой поверхности – $288 \text{ см}^2$. Найдите сторону основания и высоту призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее высота.

Поскольку призма правильная, ее боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $h$. По теореме Пифагора:$a^2 + h^2 = d^2$Согласно условию, диагональ боковой грани равна 10 см ($d=10$), поэтому мы получаем первое уравнение:$a^2 + h^2 = 10^2$$a^2 + h^2 = 100$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной шестиугольной призмы состоит из шести одинаковых прямоугольных граней. Площадь одной такой грани равна $a \cdot h$. Следовательно, площадь всей боковой поверхности вычисляется по формуле:$S_{бок} = 6 \cdot a \cdot h$По условию, $S_{бок} = 288$ см², что дает нам второе уравнение:$6ah = 288$$ah = \frac{288}{6}$$ah = 48$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $h$:$\begin{cases} a^2 + h^2 = 100 \\ ah = 48 \end{cases}$

Для решения этой системы выразим $h$ из второго уравнения: $h = \frac{48}{a}$. Подставим это выражение в первое уравнение:$a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100$$a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на $a^2$ (мы можем это сделать, так как $a$, будучи длиной стороны, не равно нулю):$a^4 + 2304 = 100a^2$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:$a^4 - 100a^2 + 2304 = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $x = a^2$. Так как $a$ — это длина, $a > 0$, и, следовательно, $x > 0$. Уравнение принимает вид:$x^2 - 100x + 2304 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784$Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$.

Найдем корни для $x$:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 + 28}{2} = \frac{128}{2} = 64$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 - 28}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Теперь вернемся к переменной $a$ ($a = \sqrt{x}$):1. Если $x = 64$, то $a = \sqrt{64} = 8$ см.Тогда высота $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{8} = 6$ см.

2. Если $x = 36$, то $a = \sqrt{36} = 6$ см.Тогда высота $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{6} = 8$ см.

Задача имеет два возможных решения, которые симметричны относительно стороны основания и высоты.

Ответ: сторона основания равна 8 см, а высота призмы 6 см; или сторона основания равна 6 см, а высота призмы 8 см.