Номер 43, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 43, страница 157.

Условие.

16.43. Каждое ребро наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равно $a$. Ребро $AA_1$ образует с каждым из рёбер $AB$ и $AC$ угол, равный $45^\circ$.

1) Докажите, что $AA_1 \perp BC$.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение 1.

Решение 3.

1) Докажите, что $AA_1 \perp BC$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем векторы, соответствующие ребрам, выходящим из вершины $A$: $\vec{AA_1}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

По условию задачи, все ребра призмы равны $a$. Это означает, что длины (модули) введенных векторов равны $a$: $|\vec{AA_1}| = a$, $|\vec{AB}| = a$, $|\vec{AC}| = a$.

Также по условию, ребро $AA_1$ образует с ребрами $AB$ и $AC$ угол в $45°$. Следовательно, угол между вектором $\vec{AA_1}$ и вектором $\vec{AB}$ равен $45°$, и угол между вектором $\vec{AA_1}$ и вектором $\vec{AC}$ также равен $45°$.

Чтобы доказать, что прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой $BC$, необходимо показать, что скалярное произведение их направляющих векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC}$ равно нулю.

Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы с общим началом в точке A: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{AC} - \vec{AA_1} \cdot \vec{AB}$.

Вычислим каждое слагаемое, используя определение скалярного произведения $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Подставим полученные значения в выражение для скалярного произведения:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} - \frac{a^2\sqrt{2}}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BC$ также перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1}$.

Поскольку все ребра призмы равны $a$, каждая боковая грань является ромбом со стороной $a$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = s_1 s_2 \sin\theta$, где $s_1$ и $s_2$ — смежные стороны, а $\theta$ — угол между ними.

Найдем площадь каждой боковой грани:

1. Грань $ABB_1A_1$. Это ромб со сторонами $AB$ и $AA_1$. Угол между ними по условию $\angle A_1AB = 45°$. $S_{ABB_1A_1} = a \cdot a \cdot \sin(45^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Грань $CAA_1C_1$. Это ромб со сторонами $AC$ и $AA_1$. Угол между ними по условию $\angle A_1AC = 45°$. $S_{CAA_1C_1} = a \cdot a \cdot \sin(45^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Грань $BCC_1B_1$. Это ромб со сторонами $BC$ и $BB_1$. В призме боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Угол между сторонами ромба $BC$ и $BB_1$ равен углу между прямыми $BC$ и $AA_1$. В пункте 1) было доказано, что $AA_1 \perp BC$, следовательно, этот угол равен $90°$. Таким образом, грань $BCC_1B_1$ является квадратом. $S_{BCC_1B_1} = a \cdot a \cdot \sin(90^\circ) = a^2 \cdot 1 = a^2$.

Теперь сложим площади всех боковых граней, чтобы найти общую площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{CAA_1C_1} + S_{BCC_1B_1} = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2} + a^2 \frac{\sqrt{2}}{2} + a^2$.

Упростим выражение:

$S_{бок} = a^2\sqrt{2} + a^2 = a^2(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $a^2(1 + \sqrt{2})$.