Номер 47, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 47, страница 157.

Условие.

16.47. Большая диагональ ромба равна $d$, а его острый угол равен $\alpha$. Найдите:

1) сторону ромба;

2) меньшую диагональ ромба;

3) площадь ромба;

4) радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ — сторона ромба, $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. По условию, острый угол ромба равен $\alpha$, а большая диагональ равна $d$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Большая диагональ $d_1 = d$ лежит против тупого угла ($180^\circ - \alpha$), а меньшая диагональ $d_2$ — против острого угла $\alpha$. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза — это сторона ромба $a$, а катеты — половины диагоналей, то есть $d/2$ и $d_2/2$. Углы этого треугольника, прилежащие к гипотенузе, равны $\alpha/2$ и $(180^\circ - \alpha)/2 = 90^\circ - \alpha/2$. Катет $d/2$ является прилежащим к углу $\alpha/2$.

1) сторону ромба;

В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, косинус половины острого угла равен отношению прилежащего катета (половины большей диагонали) к гипотенузе (стороне ромба):
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{a}$
Выразим отсюда сторону $a$:
$a = \frac{d/2}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$
Ответ: $\frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$

2) меньшую диагональ ромба;

В том же прямоугольном треугольнике тангенс половины острого угла равен отношению противолежащего катета (половины меньшей диагонали $d_2$) к прилежащему катету (половине большей диагонали $d$):
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d_2/2}{d/2} = \frac{d_2}{d}$
Выразим отсюда меньшую диагональ $d_2$:
$d_2 = d \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$
Ответ: $d \tan(\frac{\alpha}{2})$

3) площадь ромба;

Площадь ромба $S$ равна половине произведения его диагоналей:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Подставим известные значения $d_1 = d$ и $d_2 = d \tan(\frac{\alpha}{2})$:
$S = \frac{1}{2} d \cdot (d \tan(\frac{\alpha}{2})) = \frac{1}{2} d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})$
Ответ: $\frac{1}{2} d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})$

4) радиус окружности, вписанной в ромб.

Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен половине его высоты $h$. Площадь ромба также можно найти по формуле $S = a \cdot h$.
Отсюда $h = \frac{S}{a}$, а радиус $r = \frac{h}{2} = \frac{S}{2a}$.
Подставим найденные ранее выражения для площади $S$ и стороны $a$:
$r = \frac{\frac{1}{2} d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{\frac{1}{2} d^2 \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}}$
Упростим выражение:
$r = \frac{d^2 \sin(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{d} = \frac{d \sin(\frac{\alpha}{2})}{2}$
Ответ: $\frac{d \sin(\frac{\alpha}{2})}{2}$