Номер 7, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 7, страница 160.

Условие.

7. Сформулируйте теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда утверждает, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трёх его измерений (длины, ширины и высоты).

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями $a$ (длина), $b$ (ширина) и $c$ (высота).

1. Сначала найдем квадрат диагонали его основания. Основание является прямоугольником со сторонами $a$ и $b$. Обозначим диагональ основания как $d_{осн}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_{осн}$, имеем:

$d_{осн}^2 = a^2 + b^2$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются диагональ основания $d_{осн}$ и боковое ребро (высота) $c$, а гипотенузой — диагональ самого параллелепипеда $d$.

3. Применив теорему Пифагора к этому треугольнику, получим:

$d^2 = d_{осн}^2 + c^2$

4. Подставим в это равенство выражение для $d_{осн}^2$ из первого шага:

$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2$

Таким образом, мы получаем итоговую формулу:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Если измерения параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, а его диагональ равна $d$, то их связывает формула $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.