Номер 5, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 5, страница 160.

Условие.

Рис. 17.7

17.5.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 17.7), $AB = 5$ см,

$AD = 7$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите угол между:

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $BCC_1$;

2) прямой $B_1D$ и плоскостью $ABB_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с измерениями $AB=5$ см, $AD=7$ см, $AA_1=12$ см.

1) Найдите угол между прямой $DC_1$ и плоскостью $BCC_1$

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию прямой $DC_1$ на плоскость грани $BCC_1B_1$.

Точка $C_1$ принадлежит плоскости $BCC_1$, следовательно, она проецируется сама в себя.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его ребро $DC$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$ (так как $DC \perp BC$ и $DC \perp CC_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $BCC_1$ является точка $C$.

Таким образом, проекцией прямой $DC_1$ на плоскость $BCC_1$ является прямая $CC_1$.

Искомый угол — это угол между наклонной $DC_1$ и её проекцией $CC_1$, то есть угол $\angle DC_1C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DC_1C$. Так как ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $BCC_1$, то оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CC_1$. Следовательно, $\triangle DC_1C$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике нам известны длины катетов: $DC = AB = 5$ см и $CC_1 = AA_1 = 12$ см.

Найдём тангенс угла $\angle DC_1C$: $$ \tan(\angle DC_1C) = \frac{DC}{CC_1} = \frac{5}{12} $$ Следовательно, искомый угол $\alpha = \arctan\left(\frac{5}{12}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{5}{12}\right)$.

2) Найдите угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABB_1$

Найдём проекцию прямой $B_1D$ на плоскость грани $ABB_1A_1$.

Точка $B_1$ принадлежит плоскости $ABB_1$, следовательно, её проекция — это сама точка $B_1$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, ребро $AD$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$ (так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $ABB_1$ является точка $A$.

Таким образом, проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $ABB_1$ является прямая $B_1A$.

Искомый угол — это угол между наклонной $B_1D$ и её проекцией $B_1A$, то есть угол $\angle AB_1D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D$. Так как ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABB_1$, то оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AB_1$. Следовательно, $\triangle AB_1D$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

В этом треугольнике нам известен катет $AD = 7$ см. Найдём длину второго катета $AB_1$. $AB_1$ — это диагональ грани $ABB_1A_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB_1$ (с прямым углом $B$). По теореме Пифагора: $$ AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $$ $$ AB_1 = \sqrt{169} = 13 \text{ см} $$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle AB_1D$. Найдём тангенс угла $\angle AB_1D$: $$ \tan(\angle AB_1D) = \frac{AD}{AB_1} = \frac{7}{13} $$ Следовательно, искомый угол $\beta = \arctan\left(\frac{7}{13}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{7}{13}\right)$.