Номер 9, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 9, страница 161.

Условие.

17.9. Ребро куба равно $a$. Чему равна диагональ куба?

Решение 1.

Решение 3.

17.9.

Для того чтобы найти диагональ куба, можно дважды применить теорему Пифагора или воспользоваться общей формулой для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Способ 1: Двукратное применение теоремы Пифагора

1. Сначала найдем диагональ грани куба. Грань куба представляет собой квадрат со стороной $a$. Диагональ этого квадрата, обозначим ее $d_{грани}$, является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными ребру куба $a$.

По теореме Пифагора:

$d_{грани}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Следовательно, $d_{грани} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются диагональ грани ($d_{грани}$) и ребро куба ($a$), перпендикулярное этой грани. Гипотенузой этого треугольника будет диагональ самого куба, обозначим ее $d_{куба}$.

Снова по теореме Пифагора:

$d_{куба}^2 = (d_{грани})^2 + a^2$

Подставим найденное значение $d_{грани}^2$:

$d_{куба}^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Извлекая квадратный корень, находим длину диагонали куба:

$d_{куба} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Способ 2: Использование общей формулы

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Для куба все три измерения равны $a$.

$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Отсюда, диагональ куба $d$ равна:

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$