Номер 8, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 8, страница 161.

Условие.

17.8. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если они относятся как $1 : 2 : 2$, а диагональ параллелепипеда равна 6 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$.

По условию, их отношение равно $1 : 2 : 2$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда измерения можно выразить следующим образом:
$a = 1 \cdot x = x$ см,
$b = 2 \cdot x = 2x$ см,
$c = 2 \cdot x = 2x$ см.

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Известно, что диагональ $d = 6$ см. Подставим известные значения в формулу:
$6^2 = (x)^2 + (2x)^2 + (2x)^2$

Решим полученное уравнение:
$36 = x^2 + 4x^2 + 4x^2$
$36 = 9x^2$
$x^2 = \frac{36}{9}$
$x^2 = 4$
Так как $x$ представляет собой длину, мы берем только положительное значение корня:
$x = \sqrt{4} = 2$ см.

Теперь найдем измерения параллелепипеда, подставив значение $x$:
$a = x = 2$ см.
$b = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.
$c = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 4 см и 4 см.