Номер 14, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 14, страница 161.

Условие.

17.14. Стороны основания прямого параллелепипеда равны $2\sqrt{2}$ см и 4 см, а один из углов основания равен $45^\circ$. Большая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны основания прямого параллелепипеда равны $a = 2\sqrt{2}$ см и $b = 4$ см. Основанием является параллелограмм, один из углов которого равен $45^\circ$. Следовательно, второй угол равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Нахождение диагоналей основания
Для нахождения диагоналей параллелограмма ($d_1$ и $d_2$) воспользуемся теоремой косинусов.
Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла $45^\circ$:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45^\circ) = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 + 16 - 16 = 8$.
$d_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
Большая диагональ $d_2$ лежит напротив тупого угла $135^\circ$:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(135^\circ) = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 8 + 16 + 16 = 40$.
$d_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ см.
Таким образом, большая диагональ основания равна $2\sqrt{10}$ см.

Нахождение высоты параллелепипеда
Большая диагональ параллелепипеда ($D = 7$ см) соответствует большей диагонали основания ($d_2 = 2\sqrt{10}$ см). Эти диагонали и высота параллелепипеда $h$ образуют прямоугольный треугольник, так как параллелепипед прямой. По теореме Пифагора:
$D^2 = d_2^2 + h^2$
$7^2 = (2\sqrt{10})^2 + h^2$
$49 = 40 + h^2$
$h^2 = 49 - 40 = 9$
$h = 3$ см.

Нахождение площади боковой поверхности
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямого параллелепипеда равна произведению периметра его основания $P_{осн}$ на высоту $h$.
Периметр основания:
$P_{осн} = 2(a+b) = 2(2\sqrt{2} + 4) = 4\sqrt{2} + 8$ см.
Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4\sqrt{2} + 8) \cdot 3 = 12\sqrt{2} + 24$ см$^2$.

Ответ: $12\sqrt{2} + 24$ см$^2$.