Номер 18, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 18, страница 161.

Условие.

17.18. Докажите, что если диагонали прямого параллелепипеда равны, то данный параллелепипед является прямоугольным.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По определению прямого параллелепипеда, его основания ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) являются параллелограммами, а боковые рёбра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. Таким образом, для доказательства утверждения достаточно показать, что основание $ABCD$ является прямоугольником.

Рассмотрим две диагонали параллелепипеда: $AC_1$ и $BD_1$. По условию задачи, все диагонали равны, следовательно, $AC_1 = BD_1$.

Найдём квадраты длин этих диагоналей, используя теорему Пифагора.
Рассмотрим треугольник $\triangle ACC_1$. Так как параллелепипед прямой, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle ACC_1$ является прямоугольным с гипотенузой $AC_1$. По теореме Пифагора:
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle BDD_1$. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ и, следовательно, прямой $BD$. Значит, треугольник $\triangle BDD_1$ является прямоугольным с гипотенузой $BD_1$. По теореме Пифагора:
$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

Приравняем квадраты длин диагоналей, так как $AC_1 = BD_1$:
$AC_1^2 = BD_1^2$
$AC^2 + CC_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

В любом параллелепипеде противолежащие рёбра равны, поэтому $CC_1 = DD_1$. Тогда из предыдущего равенства следует:
$AC^2 = BD^2$
Поскольку длины отрезков — положительные величины, то $AC = BD$.

Мы установили, что диагонали ($AC$ и $BD$) параллелограмма $ABCD$, лежащего в основании, равны между собой. Согласно свойству параллелограмма, если его диагонали равны, то он является прямоугольником.

Таким образом, основание $ABCD$ — прямоугольник. Поскольку данный параллелепипед является прямым и его основание — прямоугольник, он является прямоугольным параллелепипедом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.