Номер 19, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 19, страница 161.

Условие.

17.19. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$ со стороной 6 см, $\angle BAD = 45^\circ$. Через прямую $AD$ и вершину $B_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $60^\circ$.

Найдите:

1) боковое ребро параллелепипеда;

2) площадь сечения параллелепипеда плоскостью $AB_1D$.

Решение 1.

Решение 3.

1) боковое ребро параллелепипеда

Данный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является прямым, что означает, что его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, $BB_1 \perp (ABC)$.

Плоскость сечения проходит через прямую $AD$ и вершину $B_1$. Плоскость основания — это плоскость $(ABC)$. Линия пересечения этих двух плоскостей — прямая $AD$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке. Построим такой линейный угол.

В плоскости основания $(ABC)$ проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AD$. Таким образом, по построению $BH \perp AD$.

Поскольку $BB_1 \perp (ABC)$, то $BB_1$ является перпендикуляром к плоскости, а $B_1H$ — наклонной к этой плоскости, имеющей проекцию $BH$. Так как проекция $BH$ перпендикулярна прямой $AD$ в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $B_1H$ перпендикулярна этой прямой: $B_1H \perp AD$.

Мы имеем два перпендикуляра $BH$ и $B_1H$ к общей прямой $AD$, проведенные в одной точке $H$. Следовательно, угол между ними $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию задачи, $\angle B_1HB = 60^\circ$.

Для нахождения бокового ребра $BB_1$ сначала найдем длину $BH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $BH$ — высота). В нем гипотенуза $AB = 6$ см (сторона ромба), а угол $\angle BAH = \angle BAD = 45^\circ$.$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (угол $\angle B_1BH = 90^\circ$, так как $BB_1 \perp (ABC)$). В нем нам известен катет $BH = 3\sqrt{2}$ см и прилежащий к нему угол $\angle B_1HB = 60^\circ$. Боковое ребро $BB_1$ является вторым катетом.$BB_1 = BH \cdot \tan(\angle B_1HB) = 3\sqrt{2} \cdot \tan(60^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.

2) площадь сечения параллелепипеда плоскостью $AB_1D$

Плоскость сечения проходит через прямую $AD$ и точку $B_1$. Поскольку в основании параллелепипеда лежит ромб $ABCD$, то $AD \parallel BC$. Также, в прямом параллелепипеде основания параллельны, поэтому $BC \parallel B_1C_1$. Отсюда следует, что $AD \parallel B_1C_1$.

Так как две параллельные прямые $AD$ и $B_1C_1$ задают плоскость, то точки $A, D, C_1, B_1$ лежат в одной плоскости. Следовательно, искомое сечение — это параллелограмм $AB_1C_1D$.

Площадь этого параллелограмма можно найти как произведение его основания на высоту. Примем за основание сторону $AD = 6$ см. Высотой, опущенной из вершины $B_1$ на основание $AD$, является отрезок $B_1H$, перпендикулярность которого к $AD$ была доказана в предыдущем пункте.

Найдем длину высоты $B_1H$ из прямоугольного треугольника $B_1BH$:$B_1H = \frac{BH}{\cos(\angle B_1HB)} = \frac{3\sqrt{2}}{\cos(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь сечения $S_{AB_1C_1D}$:$S_{AB_1C_1D} = AD \cdot B_1H = 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Альтернативный способ:

Можно воспользоваться теоремой о площади ортогональной проекции фигуры. Ортогональной проекцией сечения $AB_1C_1D$ на плоскость основания $(ABC)$ является ромб $ABCD$.

Найдем площадь ромба $ABCD$:$S_{ABCD} = AB^2 \cdot \sin(\angle BAD) = 6^2 \cdot \sin(45^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$ см$^2$.

Площадь проекции ($S_{proj}$) связана с площадью самой фигуры ($S_{sec}$) и углом $\gamma$ между их плоскостями соотношением: $S_{proj} = S_{sec} \cdot \cos(\gamma)$.

Отсюда площадь сечения:$S_{sec} = \frac{S_{proj}}{\cos(\gamma)} = \frac{S_{ABCD}}{\cos(60^\circ)} = \frac{18\sqrt{2}}{1/2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{2}$ см$^2$.