Номер 17, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 17, страница 161.

Условие.

17.17. Диагональ прямоугольного параллелепипеда больше его измерений соответственно на 9 см, на 8 см и на 5 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

17.17.

Пусть $a, b, c$ – измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота), а $d$ – его диагональ.

Согласно условию задачи, диагональ больше его измерений соответственно на 9 см, на 8 см и на 5 см. Запишем эти соотношения в виде уравнений:

$a = d - 9$
$b = d - 8$
$c = d - 5$

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений. Формула, связывающая диагональ и измерения, выглядит так:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим выражения для $a, b$ и $c$ через $d$ в эту формулу:

$d^2 = (d - 9)^2 + (d - 8)^2 + (d - 5)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$d^2 = (d^2 - 2 \cdot d \cdot 9 + 9^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 8 + 8^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 5 + 5^2)$

$d^2 = (d^2 - 18d + 81) + (d^2 - 16d + 64) + (d^2 - 10d + 25)$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$d^2 = (d^2 + d^2 + d^2) + (-18d - 16d - 10d) + (81 + 64 + 25)$

$d^2 = 3d^2 - 44d + 170$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3d^2 - d^2 - 44d + 170 = 0$

$2d^2 - 44d + 170 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$d^2 - 22d + 85 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 85 = 484 - 340 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + \sqrt{144}}{2} = \frac{22 + 12}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - \sqrt{144}}{2} = \frac{22 - 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь необходимо проверить, какой из корней удовлетворяет условиям задачи. Измерения параллелепипеда $a, b, c$ должны быть положительными числами.

Проверим корень $d_1 = 17$:

$a = 17 - 9 = 8$ см (> 0)
$b = 17 - 8 = 9$ см (> 0)
$c = 17 - 5 = 12$ см (> 0)

Все измерения положительны, следовательно, этот корень является решением задачи.

Проверим корень $d_2 = 5$:

$a = 5 - 9 = -4$ см (< 0)

Так как одно из измерений получается отрицательным, что невозможно с точки зрения геометрии, этот корень является посторонним и не подходит.

Таким образом, единственное возможное значение для диагонали параллелепипеда – 17 см.

Ответ: 17 см.