Номер 15, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 15, страница 161.

Условие.

17.15. Стороны основания прямого параллелепипеда равны $2$ см и $2\sqrt{3}$ см, а один из углов основания равен $30^{\circ}$. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через меньшую диагональ основания, равна $8$ см$^2$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит параллелограмм $ABCD$.

По условию, стороны основания равны $a = 2$ см и $b = 2\sqrt{3}$ см. Пусть $AB = 2$ см, $AD = 2\sqrt{3}$ см. Один из углов основания равен $30^\circ$. В параллелограмме диагональ, лежащая напротив острого угла, является меньшей диагональю. Пусть $\angle BAD = 30^\circ$. Тогда меньшая диагональ основания — это $BD$.

1. Найдем длину меньшей диагонали основания.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов для нахождения диагонали $d_1 = BD$:
$d_1^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$
$d_1^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$
$d_1^2 = 4 + 4 \cdot 3 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$d_1^2 = 4 + 12 - \frac{8 \cdot 3}{2}$
$d_1^2 = 16 - 12 = 4$
$d_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Диагональное сечение, проходящее через меньшую диагональ основания $BD$, является прямоугольником $BDD_1B_1$. Его площадь $S_{сеч}$ равна произведению длины диагонали основания $d_1$ на высоту параллелепипеда $h = BB_1$.
$S_{сеч} = d_1 \cdot h$
По условию $S_{сеч} = 8$ см².
$8 = 2 \cdot h$
$h = \frac{8}{2} = 4$ см.

3. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ вычисляется по формуле:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Вычислим площадь основания (параллелограмма $ABCD$):
$S_{осн} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$
$S_{осн} = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см².

Вычислим площадь боковой поверхности. Она равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
Периметр основания:
$P_{осн} = 2(AB + AD) = 2(2 + 2\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3}$ см.
Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = (4 + 4\sqrt{3}) \cdot 4 = 16 + 16\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) + (16 + 16\sqrt{3})$
$S_{полн} = 4\sqrt{3} + 16 + 16\sqrt{3} = 16 + 20\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16 + 20\sqrt{3}$ см².