Номер 10, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 10, страница 161.

Условие.

17.10. Площадь поверхности куба равна $216 \, \text{см}^2$. Найдите площадь его диагонального сечения.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ — длина ребра куба.

Площадь полной поверхности куба ($S_{пов}$) вычисляется как сумма площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$, поэтому ее площадь равна $a^2$. Таким образом, формула для площади полной поверхности куба выглядит так:

$S_{пов} = 6a^2$

Согласно условию задачи, площадь поверхности куба равна 216 см². Используя эту информацию, мы можем найти длину ребра куба.

$6a^2 = 216$

$a^2 = \frac{216}{6}$

$a^2 = 36$ см²

Отсюда находим длину ребра:

$a = \sqrt{36} = 6$ см.

Диагональное сечение куба представляет собой прямоугольник. Сторонами этого прямоугольника являются ребро куба $a$ и диагональ его грани $d$.

Диагональ грани куба (которая является квадратом со стороной $a$) можно найти по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь мы можем вычислить площадь диагонального сечения ($S_{сеч}$), перемножив длины его сторон:

$S_{сеч} = a \cdot d = a \cdot (a\sqrt{2}) = a^2\sqrt{2}$

Мы уже выяснили, что $a^2 = 36$ см². Подставим это значение в формулу площади сечения:

$S_{сеч} = 36\sqrt{2}$ см²

Ответ: $36\sqrt{2}$ см².