Номер 12, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 12, страница 161.

Условие.

17.12. Основание прямого параллелепипеда – ромб с острым углом $ \alpha $ и меньшей диагональю $ d $. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $ \beta $. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда. Основанием является ромб со стороной $a$, поэтому его периметр $P_{осн} = 4a$. Таким образом, задача сводится к нахождению стороны ромба $a$ и высоты параллелепипеда $h$.

1. Найдем сторону основания (ромба)

Пусть сторона ромба равна $a$. По условию, в ромбе есть острый угол $\alpha$ и меньшая диагональ $d$. Меньшая диагональ в ромбе лежит напротив острого угла. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба ($a$) и его меньшей диагональю ($d$). Угол между сторонами $a$ равен $\alpha$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:

$d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

Воспользуемся формулой половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$d^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$d = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда выразим сторону ромба $a$:

$a = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

2. Найдем высоту параллелепипеда

Высота прямого параллелепипеда $h$ равна его боковому ребру. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на основание является большая диагональ ромба, которую мы обозначим $D$. Высота $h$, большая диагональ ромба $D$ и большая диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник. Из соотношений в этом треугольнике имеем:

$\tan(\beta) = \frac{h}{D}$, откуда $h = D \tan(\beta)$.

Теперь найдем длину большей диагонали ромба $D$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, имеем:

$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{D}{2})^2$

Выразим отсюда $D^2$:

$D^2 = 4a^2 - d^2$

Подставим найденное ранее выражение для $a$:

$D^2 = 4\left(\frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - d^2 = \frac{4d^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2 = \frac{d^2}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2$

$D^2 = d^2\left(\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 1\right) = d^2\frac{1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\cot^2(\frac{\alpha}{2})$

Следовательно, большая диагональ ромба равна:

$D = d \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь можем найти высоту параллелепипеда $h$:

$h = D \tan(\beta) = d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$

3. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$

Подставим найденные выражения для $a$ и $h$:

$S_{бок} = 4 \cdot \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$

Упростим выражение, используя то, что $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$:

$S_{бок} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta) = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.