Номер 16, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 16, страница 161.

Условие.

17.16. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 19 см и 20 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a$, $b$ и $c$. Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками со сторонами $a$ и $b$, $a$ и $c$, $b$ и $c$. Диагонали этих граней, обозначим их $d_1$, $d_2$ и $d_3$, находятся по теореме Пифагора.

Согласно условию задачи, диагонали граней равны 11 см, 19 см и 20 см. Мы можем составить систему уравнений, где квадраты диагоналей граней равны суммам квадратов соответствующих сторон:

$d_1^2 = a^2 + b^2 = 11^2 = 121$

$d_2^2 = a^2 + c^2 = 19^2 = 361$

$d_3^2 = b^2 + c^2 = 20^2 = 400$

Квадрат диагонали самого прямоугольного параллелепипеда, обозначим ее $D$, равен сумме квадратов трех его измерений. Формула для квадрата диагонали: $D^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Для нахождения $D^2$, сложим все три уравнения нашей системы:

$(a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) = 121 + 361 + 400$

Приведем подобные члены в левой части уравнения:

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 882$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 + b^2 + c^2) = 882$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму квадратов измерений:

$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{882}{2} = 441$

Поскольку $D^2 = a^2 + b^2 + c^2$, мы получаем:

$D^2 = 441$

Чтобы найти длину диагонали $D$, извлечем квадратный корень из 441:

$D = \sqrt{441} = 21$ см.

Ответ: 21 см.