Номер 23, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 23, страница 162.

Условие.

17.23. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, а площади диагональных сечений равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб со стороной $a$ и диагоналями $d_1$ и $d_2$. Пусть высота параллелепипеда равна $h$.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется как произведение периметра основания на высоту. Периметр ромба $P_{осн} = 4a$.

Следовательно, искомая площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$.

Диагональные сечения данного параллелепипеда являются прямоугольниками. Их сторонами являются диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и боковое ребро (равное высоте $h$).

Площади этих диагональных сечений по условию равны $S_1$ и $S_2$:
$S_1 = d_1 \cdot h$
$S_2 = d_2 \cdot h$

Из этих соотношений мы можем выразить длины диагоналей ромба:
$d_1 = \frac{S_1}{h}$
$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Основное свойство ромба связывает его сторону и диагонали. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:
$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Подставим в это равенство выражения для $d_1$ и $d_2$, полученные ранее:
$a^2 = \left(\frac{S_1}{2h}\right)^2 + \left(\frac{S_2}{2h}\right)^2$
$a^2 = \frac{S_1^2}{4h^2} + \frac{S_2^2}{4h^2}$
$a^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{4h^2}$

Умножим обе части уравнения на $4h^2$:
$4a^2h^2 = S_1^2 + S_2^2$

Заметим, что левая часть уравнения является квадратом выражения $2ah$:
$(2ah)^2 = S_1^2 + S_2^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $a$ и $h$ — длины, их произведение положительно:
$2ah = \sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

Теперь вернемся к формуле для площади боковой поверхности $S_{бок} = 4ah$. Мы можем представить ее как $S_{бок} = 2 \cdot (2ah)$. Подставив найденное выражение, получим:
$S_{бок} = 2\sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

Ответ: $2\sqrt{S_1^2 + S_2^2}$