Номер 26, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 26, страница 162.

Условие.

17.26. Основание $ABCD$ параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ является квадратом. Вершина $A_1$ равноудалена от всех вершин основания $ABCD$. Найдите высоту параллелепипеда, если сторона основания равна 8 см, а боковое ребро параллелепипеда – 6 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $h$ — высота параллелепипеда. По определению, высота — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания.

По условию задачи, основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a = 8$ см. Вершина $A_1$ равноудалена от всех вершин основания $ABCD$, то есть $A_1A = A_1B = A_1C = A_1D$.

Это означает, что проекция точки $A_1$ на плоскость основания $ABCD$ является центром окружности, описанной около квадрата $ABCD$. Центром такой окружности является точка пересечения диагоналей квадрата. Обозначим эту точку как $O$.

Таким образом, отрезок $A_1O$ перпендикулярен плоскости основания $ABCD$, и его длина является высотой параллелепипеда, то есть $h = A_1O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$, где $A_1A$ — гипотенуза (боковое ребро), $AO$ и $A_1O$ — катеты. По теореме Пифагора:$A_1A^2 = AO^2 + A_1O^2$

Из этой формулы мы можем выразить высоту:$h^2 = A_1O^2 = A_1A^2 - AO^2$

Нам известна длина бокового ребра $A_1A = 6$ см. Найдем длину отрезка $AO$, который является половиной диагонали квадрата $ABCD$.

Сначала найдем длину диагонали $AC$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$$AC = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Точка $O$ — середина диагонали $AC$, следовательно:$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу для высоты:$h^2 = 6^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - (16 \cdot 2) = 36 - 32 = 4$

$h = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.