Номер 28, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 28, страница 162.

Условие.

17.28. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, $AB = 2\sqrt{2}$ см, $\angle BAC = 30^{\circ}$, отрезок $AD$ – биссектриса треугольника $ABC$. Найдите отрезок $AD$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку в треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, то он является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle CBA = \angle BAC = 30^{\circ}$.

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому угол при вершине $C$ равен:$\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle CBA) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$.

Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$, следовательно, он делит этот угол на два равных угла:$\angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем сторону $AB = 2\sqrt{2}$ см и два угла: $\angle BAD = 15^{\circ}$ и $\angle ABD = 30^{\circ}$. Найдем третий угол этого треугольника:$\angle ADB = 180^{\circ} - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^{\circ} - (15^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

Для нахождения длины отрезка $AD$ применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Подставим известные значения в формулу:$\frac{AD}{\sin(30^{\circ})} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin(135^{\circ})}$

Выразим $AD$:$AD = \frac{AB \cdot \sin(30^{\circ})}{\sin(135^{\circ})}$

Зная, что $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(135^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, выполним вычисления:$AD = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2$ см.

Ответ: 2 см.