Номер 25, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 25, страница 162.

Условие.

17.25. Через диагональ $BD$ основания $ABCD$ и вершину $C_1$ прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая угол $30^{\circ}$ с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если $BC = 8$ см, $CD = 4$ см, $\angle BCD = 60^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем периметр основания и его элементы.
Основанием является параллелограмм $ABCD$ со сторонами $BC = 8$ см и $CD = 4$ см. Периметр основания: $P_{осн} = 2 \cdot (BC + CD) = 2 \cdot (8 + 4) = 24$ см.

Рассмотрим треугольник $BCD$ в основании. Используя теорему косинусов, найдем длину диагонали $BD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 16 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48$
$BD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда.
Угол между плоскостью сечения $(BDC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол, ребром которого является прямая $BD$. Величина этого угла по условию равна $30^\circ$.
Для построения линейного угла этого двугранного угла проведем в плоскости основания высоту $CH$ к стороне $BD$ в треугольнике $BCD$. Таким образом, $CH \perp BD$.
Поскольку параллелепипед прямой, его боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания ($CC_1 \perp (ABC)$). Тогда $CH$ является проекцией наклонной $C_1H$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция $CH$ перпендикулярна прямой $BD$, то и наклонная $C_1H$ перпендикулярна этой прямой, т.е. $C_1H \perp BD$.
Следовательно, угол $\angle C_1HC$ является линейным углом двугранного угла, и $\angle C_1HC = 30^\circ$.

Для нахождения высоты параллелепипеда $h = CC_1$ сначала найдем длину $CH$. Вычислим площадь треугольника $BCD$ двумя способами.
Через две стороны и угол между ними: $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.
Через основание $BD$ и высоту $CH$: $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH$.
Приравнивая выражения для площади, получаем: $8\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot CH$
$8\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot CH$
$CH = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CC_1H$ (угол $\angle CCH_1 = 90^\circ$). Высота параллелепипеда $h = CC_1$ является катетом в этом треугольнике. $\text{tg}(\angle C_1HC) = \frac{CC_1}{CH}$
$h = CC_1 = CH \cdot \text{tg}(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности.
Подставим найденные значения периметра основания и высоты в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см$^2$.