Номер 21, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 21, страница 162.

Условие.

17.21. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с одной из боковых граней – угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$, $c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — высота. Площадь боковой поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2(a+b)c$.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$. Квадрат диагонали связан с его измерениями соотношением: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Угол между диагональю $d$ и плоскостью основания равен $\alpha$. Этот угол образуется между самой диагональю и ее проекцией на плоскость основания. Высота $c$ является катетом, противолежащим этому углу, в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является диагональ $d$. Следовательно, мы можем выразить высоту $c$:

$c = d \sin(\alpha)$

Угол между диагональю $d$ и одной из боковых граней равен $\beta$. Пусть эта боковая грань имеет размеры $b \times c$. Ребро $a$ перпендикулярно плоскости этой грани. Угол $\beta$ образуется между диагональю $d$ и ее проекцией на эту боковую грань. Ребро $a$ является катетом, противолежащим этому углу, в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является диагональ $d$. Отсюда мы можем выразить сторону $a$:

$a = d \sin(\beta)$

Теперь, зная $a$ и $c$, мы можем найти сторону $b$ из соотношения для квадрата диагонали:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим известные выражения для $a$ и $c$:

$d^2 = (d \sin(\beta))^2 + b^2 + (d \sin(\alpha))^2$

$d^2 = d^2 \sin^2(\beta) + b^2 + d^2 \sin^2(\alpha)$

Выразим $b^2$:

$b^2 = d^2 - d^2 \sin^2(\alpha) - d^2 \sin^2(\beta) = d^2 (1 - \sin^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$

Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$, получаем:

$b^2 = d^2 (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$

Отсюда находим $b$ (поскольку $b$ — длина ребра, $b > 0$):

$b = d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$

Теперь у нас есть все три измерения параллелепипеда, выраженные через $d, \alpha, \beta$. Подставим их в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)c = 2(d \sin(\beta) + d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})(d \sin(\alpha))$

Упростим выражение, вынеся $d$ за скобки:

$S_{бок} = 2d (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}) \cdot d \sin(\alpha)$

$S_{бок} = 2d^2 \sin(\alpha) (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$

Ответ: $S_{бок} = 2d^2 \sin(\alpha) (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$