Номер 22, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 22, страница 162.

Условие.

17.22. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с данной стороной основания – угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$. Пусть измерения параллелепипеда равны $a$, $b$ и $h$, где $a$ и $b$ - стороны основания, а $h$ - высота. По условию, одна из сторон основания равна $a$, пусть это будет $AB=a$. Тогда $BC=b$ и $AA_1=h$.

Диагональ параллелепипеда, обозначим ее как $D$, пусть это будет $AC_1$. Угол, который диагональ $AC_1$ образует с плоскостью основания $ABCD$, равен углу между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией $AC_1$ на плоскость $ABCD$ является диагональ основания $AC$. Следовательно, $\angle C_1AC = \alpha$.

Угол, который диагональ $AC_1$ образует с данной стороной основания $AB$, равен $\angle C_1AB = \beta$.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания. В нашем случае $P_{осн} = 2(a+b)$, поэтому $S_{бок} = 2(a+b)h$. Для решения задачи необходимо выразить $b$ и $h$ через известные величины $a$, $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$ (ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию). В этом треугольнике:

• $h = CC_1 = AC_1 \cdot \sin(\alpha) = D \sin(\alpha)$
• $AC = AC_1 \cdot \cos(\alpha) = D \cos(\alpha)$

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Применим к нему теорему косинусов для стороны $BC_1$ и угла $\beta$:

$BC_1^2 = AB^2 + AC_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AC_1 \cdot \cos(\beta)$

$BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$, поэтому из прямоугольного треугольника $\triangle BCC_1$ имеем $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = b^2 + h^2$. Подставим известные величины:

$b^2 + h^2 = a^2 + D^2 - 2aD \cos(\beta)$

Для прямоугольного параллелепипеда квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений: $D^2 = a^2 + b^2 + h^2$. Отсюда $b^2 + h^2 = D^2 - a^2$. Подставим это выражение в уравнение теоремы косинусов:

$D^2 - a^2 = a^2 + D^2 - 2aD \cos(\beta)$

$-a^2 = a^2 - 2aD \cos(\beta)$

$2aD \cos(\beta) = 2a^2$

Отсюда находим длину диагонали параллелепипеда $D$:

$D = \frac{a}{\cos(\beta)}$

Теперь мы можем найти высоту $h$ и вторую сторону основания $b$.

Высота $h$:

$h = D \sin(\alpha) = \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$

Для нахождения $b$ воспользуемся тем, что $AC$ - диагональ прямоугольного основания $ABCD$, и по теореме Пифагора $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2$. Мы уже выразили $AC$ через $D$ и $\alpha$:

$AC = D \cos(\alpha) = \frac{a \cos(\alpha)}{\cos(\beta)}$

Тогда:

$b^2 = AC^2 - a^2 = \left(\frac{a \cos(\alpha)}{\cos(\beta)}\right)^2 - a^2 = \frac{a^2 \cos^2(\alpha)}{\cos^2(\beta)} - a^2 = a^2 \frac{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}{\cos^2(\beta)}$

$b = \frac{a}{\cos(\beta)} \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}$

Теперь, зная $a, b, h$, можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)h = 2 \left( a + \frac{a}{\cos(\beta)} \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)} \right) \cdot \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$

Вынося $a$ за скобки и преобразуя выражение, получаем:

$S_{бок} = 2a \left( \frac{\cos(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}}{\cos(\beta)} \right) \cdot \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$

$S_{бок} = \frac{2a^2 \sin(\alpha) \left(\cos(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}\right)}{\cos^2(\beta)}$

Ответ: $\frac{2a^2 \sin(\alpha) \left(\cos(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}\right)}{\cos^2(\beta)}$