Номер 13, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 13, страница 161.

Условие.

17.13. Основание прямого параллелепипеда – ромб со стороной 6 см и углом $60^\circ$. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной $a = 6$ см и острым углом $60^\circ$.

Сначала найдем диагонали основания. В ромбе с углом $60^\circ$ меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив этого угла. Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю, является равносторонним, так как все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, меньшая диагональ равна стороне ромба:
$d_1 = a = 6$ см.

Большая диагональ ромба $d_2$ лежит напротив тупого угла, который равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Найдем $d_2$ по теореме косинусов:
$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(120^\circ) = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 36 + 36 + 36 = 108$.
$d_2 = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

По условию, меньшая диагональ параллелепипеда $D_{меньш}$ равна большей диагонали его основания $d_2$.
$D_{меньш} = d_2 = 6\sqrt{3}$ см.

Так как параллелепипед прямой, его высота $h$ перпендикулярна основанию. Меньшая диагональ параллелепипеда, его высота и меньшая диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$D_{меньш}^2 = d_1^2 + h^2$
Подставим известные значения, чтобы найти высоту $h$:
$(6\sqrt{3})^2 = 6^2 + h^2$
$108 = 36 + h^2$
$h^2 = 108 - 36 = 72$
$h = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания.

Периметр ромба: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см.
Вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 24 \cdot 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2}$ см².

Ответ: $144\sqrt{2}$ см².