Номер 2, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 2, страница 160.

Условие.

17.2. Докажите, что в прямом параллелепипеде плоскость диагонального сечения перпендикулярна плоскости основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $(ABCD)$ является плоскостью его основания.

По определению, прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, что записывается как $AA_1 \perp (ABCD)$.

Рассмотрим одно из диагональных сечений данного параллелепипеда. Диагональное сечение — это плоскость, проходящая через два противолежащих боковых ребра. Возьмем, к примеру, сечение, проходящее через диагональ основания $AC$. Эта плоскость также проходит через параллельную ей диагональ верхнего основания $A_1C_1$ и боковые ребра $AA_1$ и $CC_1$. Обозначим эту плоскость как $(ACC_1A_1)$.

Требуется доказать, что плоскость диагонального сечения $(ACC_1A_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$, то есть $(ACC_1A_1) \perp (ABCD)$.

Для доказательства воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

В нашем случае выполнены все условия этого признака:

• Плоскость диагонального сечения $(ACC_1A_1)$ содержит прямую $AA_1$ (так как сечение проходит через ребро $AA_1$).
• Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$ (по определению прямого параллелепипеда).

Поскольку плоскость $(ACC_1A_1)$ проходит через прямую $AA_1$, которая перпендикулярна плоскости $(ABCD)$, то, согласно признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $(ACC_1A_1)$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$.

Аналогичное доказательство справедливо для любого другого диагонального сечения (например, для $(BDD_1B_1)$), так как оно всегда будет содержать боковое ребро, перпендикулярное основанию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.