Номер 28, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 28, страница 155.

Условие.

2) площадь образовывающейся сечении призмы.

16.28. Сторона основания правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2 см, а боковое ребро – 6 см. Диагонали боковой грани $AA_1B_1B$ пересекаются в точке $D$. Найдите угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой (наклонной) и её проекцией на данную плоскость.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ – данная правильная призма. Её основание, треугольник $ABC$, является равносторонним со стороной 2 см, а боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания и равно 6 см.

Чтобы найти угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$, построим проекцию прямой $CD$ на эту плоскость. Для этого опустим перпендикуляр из точки $D$ на плоскость $ABC$. Пусть $H$ – основание этого перпендикуляра. Точка $C$ уже лежит в плоскости $ABC$, поэтому её проекция – это сама точка $C$. Таким образом, прямая $CH$ является проекцией прямой $CD$ на плоскость $ABC$, а искомый угол – это $\angle DCH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DCH$, в котором катет $DH$ перпендикулярен плоскости $ABC$ и, следовательно, катету $CH$, лежащему в этой плоскости ($\angle DHC = 90^\circ$).

1. Найдём длину катета $DH$.
Точка $D$ является точкой пересечения диагоналей боковой грани $AA_1B_1B$. Так как призма правильная, эта грань является прямоугольником. Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $D$ является серединой диагонали $A_1B$. Высота точки $D$ над плоскостью $ABC$ равна полувысоте призмы (по теореме Фалеса или из подобия треугольников). Длина бокового ребра $AA_1$ равна 6 см, поэтому:
$DH = \frac{1}{2} \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

2. Найдём длину катета $CH$.
Проекцией отрезка $A_1B$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$. Поскольку $D$ – середина $A_1B$, её проекция $H$ является серединой отрезка $AB$. В основании призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 2 см. Отрезок $CH$ соединяет вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $AB$, то есть $CH$ является медианой треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длину высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=2$ см:
$CH = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

3. Найдём искомый угол $\angle DCH$.
В прямоугольном треугольнике $DCH$ тангенс угла $\angle DCH$ равен отношению противолежащего катета $DH$ к прилежащему катету $CH$:
$\tan(\angle DCH) = \frac{DH}{CH} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, равен $60^\circ$.
Следовательно, искомый угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.