Номер 21, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 21, страница 154.

Условие.

16.21. Основание прямой призмы – ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$.

Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$.

Найдите диагонали призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи сначала найдем диагонали основания (ромба), затем, используя данные об угле наклона большей диагонали призмы, найдем высоту призмы. После этого сможем вычислить обе диагонали призмы.

1. Нахождение диагоналей основания (ромба)

Пусть $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. Их можно найти, рассмотрев треугольники, на которые диагонали делят ромб. Используем теорему косинусов для треугольника со сторонами $a, a$ и углом $\alpha$ между ними.
Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла $\alpha$:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$
Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$
$d_1 = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$
Большая диагональ $d_2$ лежит напротив тупого угла $180^\circ - \alpha$:
$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2(1 + \cos(\alpha))$
Используя формулу половинного угла $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$d_2^2 = 2a^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$
$d_2 = 2a \cos(\frac{\alpha}{2})$

2. Нахождение высоты призмы

Пусть $h$ — высота прямой призмы. Большая диагональ призмы $D_2$ образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на основание является большая диагональ ромба $d_2$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы $h$, большей диагональю основания $d_2$ и большей диагональю призмы $D_2$. В этом треугольнике $h$ и $d_2$ являются катетами. Угол между гипотенузой $D_2$ и катетом $d_2$ равен $\beta$.
Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:
$\tan(\beta) = \frac{h}{d_2}$
Отсюда находим высоту $h$:
$h = d_2 \tan(\beta) = 2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$

3. Нахождение диагоналей призмы

Диагонали призмы $D_1$ и $D_2$ являются гипотенузами прямоугольных треугольников, катетами которых служат высота призмы $h$ и соответствующая диагональ основания ($d_1$ или $d_2$).

Найдём большую диагональ призмы $D_2$:
Из того же прямоугольного треугольника, что и в пункте 2, по определению косинуса:
$\cos(\beta) = \frac{d_2}{D_2}$
$D_2 = \frac{d_2}{\cos(\beta)} = \frac{2a \cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)}$

Найдём меньшую диагональ призмы $D_1$:
Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $d_1$ и $h$. По теореме Пифагора:
$D_1^2 = d_1^2 + h^2$
Подставим найденные значения $d_1$ и $h$:
$D_1^2 = (2a \sin(\frac{\alpha}{2}))^2 + (2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta))^2$
$D_1^2 = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + 4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2(\beta)$
$D_1^2 = 4a^2 \left( \sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2(\beta) \right)$
$D_1 = 2a \sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2(\beta)}$

Ответ: Диагонали призмы равны $ \frac{2a \cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)} $ и $ 2a \sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2(\beta)} $.