Номер 19, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 19, страница 154.

Условие.

16.19. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а угол между диагональю призмы и боковой гранью равен $30^\circ$. Найдите:
1) высоту призмы;
2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ – нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ – верхнее. Основание призмы – квадрат, поэтому $AB = BC = CD = DA = a$. Боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а боковые грани являются прямоугольниками. Высота призмы $h = AA_1$.

Рассмотрим диагональ призмы $BD_1$.

1) высоту призмы;

Угол между диагональю призмы $BD_1$ и боковой гранью, например $CDD_1C_1$, равен 30°. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию диагонали $BD_1$ на плоскость боковой грани $CDD_1C_1$. Точка $D_1$ уже лежит в этой плоскости. Чтобы найти проекцию точки $B$, опустим перпендикуляр из $B$ на плоскость $CDD_1C_1$. Так как призма правильная, ребро $BC$ перпендикулярно ребру $CD$ (так как основание – квадрат), и ребро $BC$ перпендикулярно ребру $CC_1$ (так как боковая грань перпендикулярна основанию). Следовательно, ребро $BC$ перпендикулярно всей плоскости грани $CDD_1C_1$. Таким образом, точка $C$ является проекцией точки $B$ на эту плоскость.

Значит, $CD_1$ является проекцией диагонали $BD_1$ на плоскость грани $CDD_1C_1$. Угол между $BD_1$ и её проекцией $CD_1$ равен $\angle BCD_1 = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD_1$. Так как $BC$ перпендикулярно плоскости $CDD_1C_1$, то $BC$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CD_1$. Следовательно, $\triangle BCD_1$ – прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике катет $BC = a$. Нам нужно найти высоту призмы $h = CC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C D D_1$, в котором $CD=a$ и $DD_1=h$. По теореме Пифагора гипотенуза $CD_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle BCD_1$ мы можем записать соотношение для тангенса угла $\angle BCD_1$: $ \tan(\angle BCD_1) = \frac{BC}{CD_1} $

Подставим известные значения: $ \tan(30^\circ) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + h^2}} $

Зная, что $ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} $, получаем уравнение: $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + h^2}} $

Возведём обе части в квадрат: $ \frac{1}{3} = \frac{a^2}{a^2 + h^2} $

$ a^2 + h^2 = 3a^2 $

$ h^2 = 2a^2 $

$ h = a\sqrt{2} $

Ответ: $a\sqrt{2}$

2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Найдём угол между диагональю призмы $BD_1$ и плоскостью основания $ABCD$. Этот угол равен углу между прямой $BD_1$ и её проекцией на плоскость $ABCD$.

Проекцией точки $D_1$ на плоскость основания является точка $D$, а точка $B$ уже лежит в этой плоскости. Следовательно, проекцией диагонали $BD_1$ на плоскость основания $ABCD$ является диагональ основания $BD$.

Искомый угол – это $\angle D_1BD$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle D_1DB$. Так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, то оно перпендикулярно и диагонали $BD$. Значит, $\triangle D_1DB$ – прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.

В этом треугольнике:

• Катет $DD_1$ – это высота призмы $h$. Из пункта 1 мы знаем, что $h = a\sqrt{2}$.
• Катет $BD$ – это диагональ квадрата-основания со стороной $a$. По теореме Пифагора для $\triangle ABD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Найдём тангенс угла $\alpha$: $ \tan(\alpha) = \frac{DD_1}{BD} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 $

Если $\tan(\alpha) = 1$, то угол $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$