Страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рис. 16.15

16.11 Через диагональ $AC$ основания правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $45^\circ$ и пересекающая ребро $BB_1$ в точке $M$ (рис. 16.15). Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 8 см.

16.11.

По условию, дана правильная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$. Сторона основания равна 8 см. Сечение проходит через диагональ основания $AC$ и пересекает ребро $BB_1$ в точке $M$. Образовавшееся сечение — это треугольник $AMC$.

Площадь треугольника $AMC$ можно найти по формуле: $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO$, где $MO$ — высота, проведенная к основанию $AC$.

1. Найдем длину диагонали основания $AC$. Так как $ABCD$ — квадрат со стороной 8 см, то из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора получаем:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{2 \cdot 64} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Угол между плоскостью сечения $(AMC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Их общая линия пересечения — $AC$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Так как диагонали квадрата перпендикулярны, то $BO \perp AC$.
Призма прямая, поэтому ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Отсюда следует, что $MB \perp (ABC)$, и $BO$ является проекцией наклонной $MO$ на плоскость основания.
По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $BO$ перпендикулярна прямой $AC$, то и сама наклонная $MO$ перпендикулярна $AC$.
Следовательно, угол $\angle MOB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(AMC)$ и $(ABC)$. По условию, $\angle MOB = 45^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $MBO$. Так как $MB \perp (ABC)$, то $MB \perp BO$. Значит, $\triangle MBO$ — прямоугольный.
Найдем длину катета $BO$. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, поэтому:
$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

4. В прямоугольном треугольнике $MBO$ известны катет $BO = 4\sqrt{2}$ см и угол $\angle MOB = 45^\circ$. Найдем высоту $MO$, которая является гипотенузой в этом треугольнике.
$\cos(\angle MOB) = \frac{BO}{MO}$
$MO = \frac{BO}{\cos(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8$ см.

5. Теперь вычислим площадь сечения, треугольника $AMC$:
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².

16.12.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ — периметр основания призмы, а $h$ — ее высота.

По условию, высота призмы $h = 6$ см, а основанием является параллелограмм.

Для вычисления периметра параллелограмма необходимо знать длины его сторон. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Тогда его периметр равен $P = 2(a+b)$.

Текст условия задачи на изображении неполный и не содержит информации о размерах сторон параллелограмма. Без этих данных невозможно вычислить периметр основания и, следовательно, площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: Для решения задачи недостаточно данных.

16.12. Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, высота которой равна 6 см, а основанием является параллелограмм со сторонами 2 см и 3 см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра ее основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$). Формула выглядит следующим образом:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Сначала найдем периметр основания. Основанием призмы является параллелограмм со сторонами $a = 2$ см и $b = 3$ см. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле:

$P_{осн} = 2(a + b)$

Подставим значения сторон:

$P_{осн} = 2(2 \text{ см} + 3 \text{ см}) = 2 \cdot 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Теперь, зная периметр основания и высоту призмы ($h = 6$ см), мы можем найти площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 10 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$

Ответ: $60 \text{ см}^2$.

16.13. Найдите сторону основания правильной семиугольной призмы, высота которой равна 10 см, а площадь боковой поверхности – 420 см².

Площадь боковой поверхности правильной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ — это периметр основания, а $h$ — высота призмы.

В основании данной призмы лежит правильный семиугольник. Пусть сторона основания равна $a$. Тогда периметр основания $P$ равен сумме длин семи одинаковых сторон: $P = 7a$.

Таким образом, формулу площади боковой поверхности для правильной семиугольной призмы можно записать как: $S_{бок} = 7 \cdot a \cdot h$.

По условию задачи, высота призмы $h = 10$ см, а площадь боковой поверхности $S_{бок} = 420$ см². Подставим эти значения в нашу формулу:
$420 = 7 \cdot a \cdot 10$

Упростим полученное уравнение:
$420 = 70a$

Теперь найдем неизвестную сторону основания $a$:
$a = \frac{420}{70}$
$a = 6$ см

Ответ: 6 см.

16.14. Найдите площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы, сторона основания которой равна $a$, а высота равна $H$.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной $a$. Площадь одного такого основания равна:

$S_{осн} = a^2$

Соответственно, площадь двух оснований (верхнего и нижнего) составляет:

$2 \cdot S_{осн} = 2a^2$

Боковая поверхность состоит из четырёх одинаковых прямоугольных граней. Стороны каждой грани - это сторона основания $a$ и высота призмы $H$. Площадь одной боковой грани равна $a \cdot H$.

Площадь всей боковой поверхности равна сумме площадей четырёх таких граней:

$S_{бок} = 4 \cdot a \cdot H = 4aH$

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности, сложив площадь двух оснований и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = 2a^2 + 4aH$

Также можно вынести за скобки общий множитель $2a$:

$S_{полн} = 2a(a + 2H)$

Ответ: $2a^2 + 4aH$

16.15. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна $a$, а высота равна $H$.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

1. Найдем площадь основания призмы. В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых прямоугольников, так как призма является правильной. Стороны каждого прямоугольника равны стороне основания $a$ и высоте призмы $H$. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих трех прямоугольников:

$S_{бок} = 3 \cdot (a \cdot H) = 3aH$

3. Теперь найдем площадь полной поверхности, подставив найденные значения в исходную формулу:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 3aH + 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Упростим полученное выражение:

$S_{полн} = 3aH + \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $S_{полн} = 3aH + \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

16.16. Угол между боковым ребром и плоскостью основания наклонной призмы равен $30^\circ$, высота призмы равна 10 см. Найдите боковое ребро призмы.

Пусть $L$ — длина бокового ребра наклонной призмы, $H$ — её высота, а $\alpha$ — угол между боковым ребром и плоскостью основания.

По условию задачи дано:

• Высота призмы $H = 10$ см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания $\alpha = 30^\circ$.

Угол между прямой (в нашем случае, боковым ребром) и плоскостью (основанием) определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют боковое ребро, высота призмы и проекция бокового ребра на плоскость основания. В этом треугольнике:

• боковое ребро $L$ является гипотенузой;
• высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Для нахождения гипотенузы через известный противолежащий катет и угол используется тригонометрическая функция синус:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{H}{L}$

Из этого соотношения выразим длину бокового ребра $L$:

$L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$

Подставим в формулу известные значения $H = 10$ и $\alpha = 30^\circ$:

$L = \frac{10}{\sin(30^\circ)}$

Значение синуса 30 градусов является табличной величиной: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Тогда:

$L = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot 2 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

16.17. В наклонной четырёхугольной призме проведено сечение, пересекающее все боковые рёбра призмы и перпендикулярное им. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если данное сечение является ромбом со стороной 5 см, а боковое ребро призмы равно 8 см.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) можно найти по формуле, умножив периметр её перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$) на длину бокового ребра ($l$):

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$

Согласно условию задачи, даны следующие величины:

• Перпендикулярное сечение является ромбом со стороной $a = 5$ см.
• Длина бокового ребра призмы $l = 8$ см.

1. Сначала вычислим периметр перпендикулярного сечения. Так как сечение — это ромб, все его четыре стороны равны. Периметр ($P_{\perp}$) вычисляется следующим образом:

$P_{\perp} = 4 \cdot a$

Подставим известное значение стороны ромба:

$P_{\perp} = 4 \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}$

2. Теперь, зная периметр перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, можем рассчитать площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 20 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 160 \text{ см}^2$

Ответ: $160 \text{ см}^2$.

16.18. В наклонной треугольной призме проведено сечение, пересекающее все боковые рёбра призмы и перпендикулярное им. Найдите боковое ребро призмы, если данное сечение является прямоугольным треугольником с катетами 9 см и 12 см, а площадь боковой поверхности призмы равна 288 $см^2$.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы можно найти по формуле:$S_{бок} = P_{сеч} \cdot l$,где $P_{сеч}$ — периметр сечения, перпендикулярного боковым рёбрам (перпендикулярного сечения), а $l$ — длина бокового ребра.

По условию задачи, перпендикулярное сечение — это прямоугольный треугольник с катетами $a = 9$ см и $b = 12$ см.

Для того чтобы найти периметр этого треугольника, сначала вычислим его гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем периметр перпендикулярного сечения $P_{сеч}$:

$P_{сеч} = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36$ см.

Площадь боковой поверхности призмы нам известна: $S_{бок} = 288$ см².

Выразим длину бокового ребра $l$ из формулы площади боковой поверхности:

$l = \frac{S_{бок}}{P_{сеч}}$

Подставим известные значения и вычислим $l$:

$l = \frac{288}{36} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

16.19. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а угол между диагональю призмы и боковой гранью равен $30^\circ$. Найдите:
1) высоту призмы;
2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ – нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ – верхнее. Основание призмы – квадрат, поэтому $AB = BC = CD = DA = a$. Боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а боковые грани являются прямоугольниками. Высота призмы $h = AA_1$.

Рассмотрим диагональ призмы $BD_1$.

1) высоту призмы;

Угол между диагональю призмы $BD_1$ и боковой гранью, например $CDD_1C_1$, равен 30°. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию диагонали $BD_1$ на плоскость боковой грани $CDD_1C_1$. Точка $D_1$ уже лежит в этой плоскости. Чтобы найти проекцию точки $B$, опустим перпендикуляр из $B$ на плоскость $CDD_1C_1$. Так как призма правильная, ребро $BC$ перпендикулярно ребру $CD$ (так как основание – квадрат), и ребро $BC$ перпендикулярно ребру $CC_1$ (так как боковая грань перпендикулярна основанию). Следовательно, ребро $BC$ перпендикулярно всей плоскости грани $CDD_1C_1$. Таким образом, точка $C$ является проекцией точки $B$ на эту плоскость.

Значит, $CD_1$ является проекцией диагонали $BD_1$ на плоскость грани $CDD_1C_1$. Угол между $BD_1$ и её проекцией $CD_1$ равен $\angle BCD_1 = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD_1$. Так как $BC$ перпендикулярно плоскости $CDD_1C_1$, то $BC$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CD_1$. Следовательно, $\triangle BCD_1$ – прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике катет $BC = a$. Нам нужно найти высоту призмы $h = CC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C D D_1$, в котором $CD=a$ и $DD_1=h$. По теореме Пифагора гипотенуза $CD_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle BCD_1$ мы можем записать соотношение для тангенса угла $\angle BCD_1$: $ \tan(\angle BCD_1) = \frac{BC}{CD_1} $

Подставим известные значения: $ \tan(30^\circ) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + h^2}} $

Зная, что $ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} $, получаем уравнение: $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + h^2}} $

Возведём обе части в квадрат: $ \frac{1}{3} = \frac{a^2}{a^2 + h^2} $

$ a^2 + h^2 = 3a^2 $

$ h^2 = 2a^2 $

$ h = a\sqrt{2} $

Ответ: $a\sqrt{2}$

2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Найдём угол между диагональю призмы $BD_1$ и плоскостью основания $ABCD$. Этот угол равен углу между прямой $BD_1$ и её проекцией на плоскость $ABCD$.

Проекцией точки $D_1$ на плоскость основания является точка $D$, а точка $B$ уже лежит в этой плоскости. Следовательно, проекцией диагонали $BD_1$ на плоскость основания $ABCD$ является диагональ основания $BD$.

Искомый угол – это $\angle D_1BD$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle D_1DB$. Так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, то оно перпендикулярно и диагонали $BD$. Значит, $\triangle D_1DB$ – прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.

В этом треугольнике:

• Катет $DD_1$ – это высота призмы $h$. Из пункта 1 мы знаем, что $h = a\sqrt{2}$.
• Катет $BD$ – это диагональ квадрата-основания со стороной $a$. По теореме Пифагора для $\triangle ABD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Найдём тангенс угла $\alpha$: $ \tan(\alpha) = \frac{DD_1}{BD} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 $

Если $\tan(\alpha) = 1$, то угол $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

16.20. Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, каждое ребро которой равно $a$.

По условию, дана правильная шестиугольная призма, у которой каждое ребро равно $a$. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a$, и высота призмы $h$ также равна $a$.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. В данной призме существует два вида таких (пространственных) диагоналей, которые различаются по длине. Чтобы их найти, сначала необходимо определить длины диагоналей основания.

Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a$. У него есть два типа диагоналей:

• Малая диагональ ($d_{1}$), которая соединяет вершины через одну. Её длину можно найти по теореме косинусов. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Для треугольника со сторонами $a$, $a$ и углом $120^\circ$ между ними:
  $d_{1}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
  Следовательно, $d_{1} = a\sqrt{3}$.
• Большая диагональ ($d_{2}$), которая соединяет противоположные вершины. Её длина равна удвоенной стороне шестиугольника, так как она проходит через его центр:
  $d_{2} = 2a$.

Теперь можно найти длины диагоналей самой призмы. Каждая диагональ призмы является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота призмы $h=a$ и соответствующая диагональ основания.

Меньшая диагональ призмы

Эта диагональ, обозначим ее $D_{1}$, опирается на малую диагональ основания $d_{1} = a\sqrt{3}$. Применяя теорему Пифагора, получаем:
$D_{1}^2 = d_{1}^2 + h^2 = (a\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$
$D_{1} = \sqrt{4a^2} = 2a$

Большая диагональ призмы

Эта диагональ, обозначим ее $D_{2}$, опирается на большую диагональ основания $d_{2} = 2a$. Применяя теорему Пифагора, получаем:
$D_{2}^2 = d_{2}^2 + h^2 = (2a)^2 + a^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2$
$D_{2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Ответ: диагонали призмы равны $2a$ и $a\sqrt{5}$.

16.21. Основание прямой призмы – ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$.

Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$.

Найдите диагонали призмы.

Для решения задачи сначала найдем диагонали основания (ромба), затем, используя данные об угле наклона большей диагонали призмы, найдем высоту призмы. После этого сможем вычислить обе диагонали призмы.

1. Нахождение диагоналей основания (ромба)

Пусть $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. Их можно найти, рассмотрев треугольники, на которые диагонали делят ромб. Используем теорему косинусов для треугольника со сторонами $a, a$ и углом $\alpha$ между ними.
Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла $\alpha$:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$
Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$
$d_1 = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$
Большая диагональ $d_2$ лежит напротив тупого угла $180^\circ - \alpha$:
$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2(1 + \cos(\alpha))$
Используя формулу половинного угла $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$d_2^2 = 2a^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$
$d_2 = 2a \cos(\frac{\alpha}{2})$

2. Нахождение высоты призмы

Пусть $h$ — высота прямой призмы. Большая диагональ призмы $D_2$ образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на основание является большая диагональ ромба $d_2$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы $h$, большей диагональю основания $d_2$ и большей диагональю призмы $D_2$. В этом треугольнике $h$ и $d_2$ являются катетами. Угол между гипотенузой $D_2$ и катетом $d_2$ равен $\beta$.
Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:
$\tan(\beta) = \frac{h}{d_2}$
Отсюда находим высоту $h$:
$h = d_2 \tan(\beta) = 2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$

3. Нахождение диагоналей призмы

Диагонали призмы $D_1$ и $D_2$ являются гипотенузами прямоугольных треугольников, катетами которых служат высота призмы $h$ и соответствующая диагональ основания ($d_1$ или $d_2$).

Найдём большую диагональ призмы $D_2$:
Из того же прямоугольного треугольника, что и в пункте 2, по определению косинуса:
$\cos(\beta) = \frac{d_2}{D_2}$
$D_2 = \frac{d_2}{\cos(\beta)} = \frac{2a \cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)}$

Найдём меньшую диагональ призмы $D_1$:
Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $d_1$ и $h$. По теореме Пифагора:
$D_1^2 = d_1^2 + h^2$
Подставим найденные значения $d_1$ и $h$:
$D_1^2 = (2a \sin(\frac{\alpha}{2}))^2 + (2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta))^2$
$D_1^2 = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + 4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2(\beta)$
$D_1^2 = 4a^2 \left( \sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2(\beta) \right)$
$D_1 = 2a \sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2(\beta)}$

Ответ: Диагонали призмы равны $ \frac{2a \cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)} $ и $ 2a \sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2(\beta)} $.