Страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.1. Какое наименьшее количество граней может иметь призма? Сколько эта призма имеет: 1) вершин; 2) рёбер; 3) боковых рёбер?

Призма — это многогранник, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, а боковыми гранями — параллелограммы.

Количество граней любой призмы зависит от количества сторон многоугольника в её основании. Пусть в основании призмы лежит n-угольник. Тогда у призмы есть 2 основания и n боковых граней. Общее число граней ($Г$) вычисляется по формуле: $Г = n + 2$.

Чтобы найти наименьшее возможное количество граней, необходимо выбрать многоугольник с наименьшим возможным числом сторон. Самый простой многоугольник — это треугольник, у которого 3 стороны. Следовательно, минимальное значение для $n$ равно 3.

Подставив это значение в формулу, получим наименьшее количество граней:
$Г_{min} = 3 + 2 = 5$.
Такая призма называется треугольной.

Ответ: 5.

Теперь определим количество вершин, рёбер и боковых рёбер для этой призмы (треугольной призмы, у которой $n=3$).

1) вершин
Количество вершин n-угольной призмы равно удвоенному количеству вершин её основания. У треугольного основания 3 вершины.
Число вершин ($В$) равно: $В = 2 \cdot n = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6.

2) рёбер
Общее количество рёбер n-угольной призмы складывается из рёбер верхнего основания ($n$), рёбер нижнего основания ($n$) и боковых рёбер ($n$).
Общее число рёбер ($Р$) равно: $Р = 3 \cdot n = 3 \cdot 3 = 9$.
Ответ: 9.

3) боковых рёбер
Количество боковых рёбер n-угольной призмы равно количеству вершин (или сторон) многоугольника в её основании.
Число боковых рёбер ($Р_{бок}$) равно: $Р_{бок} = n = 3$.
Ответ: 3.

16.2. Призма имеет 12 граней. Какой многоугольник лежит в её основании?

16.2.

Любая призма имеет два основания и боковые грани. Количество боковых граней всегда равно количеству сторон многоугольника, который является основанием призмы.

Пусть в основании призмы лежит $n$-угольник, то есть многоугольник с $n$ сторонами. Тогда у призмы будет $n$ боковых граней.

Общее число граней призмы равно сумме двух оснований и боковых граней. Таким образом, общее количество граней $N$ можно выразить формулой:
$N = 2 + n$

Согласно условию задачи, призма имеет 12 граней, то есть $N = 12$. Подставим это значение в формулу:
$12 = 2 + n$

Чтобы найти количество сторон многоугольника в основании ($n$), решим полученное уравнение:
$n = 12 - 2$
$n = 10$

Следовательно, в основании призмы лежит многоугольник с 10 сторонами. Такой многоугольник называется десятиугольником.

Ответ: десятиугольник.

16.3. В какой призме боковые рёбра параллельны её высоте?

Для того чтобы ответить на данный вопрос, необходимо рассмотреть определения призмы, её высоты и боковых рёбер.

Призма — это многогранник, две грани которого (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, имеющими общие стороны с основаниями.

Высота призмы — это расстояние между плоскостями её оснований. Геометрически это длина любого перпендикуляра, проведенного из точки одного основания к плоскости другого основания. По определению, высота всегда перпендикулярна основаниям.

Боковые рёбра призмы — это отрезки, соединяющие соответственные вершины оснований. Все боковые рёбра призмы параллельны между собой и равны по длине.

Вопрос состоит в том, в какой призме боковые рёбра параллельны её высоте.

Так как высота призмы перпендикулярна её основаниям, то для того чтобы боковое ребро было параллельно высоте, оно также должно быть перпендикулярно основаниям.

Призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой. В этом случае каждое боковое ребро является высотой призмы, и, следовательно, все боковые рёбра параллельны любой высоте.

Если же призма наклонная, то её боковые рёбра не перпендикулярны основаниям и, соответственно, не параллельны её высоте.

Таким образом, условие, при котором боковые рёбра параллельны высоте, выполняется только для прямой призмы.

Ответ: в прямой призме.

16.4. Докажите утверждение: если две соседние грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой. Будет ли данное утверждение верно, если из его формулировки исключить слово «соседние»?

Докажите утверждение: если две соседние грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой.

Пусть дана призма. Обозначим плоскость её основания как $\alpha$. Пусть $\pi_1$ и $\pi_2$ — это плоскости двух соседних боковых граней призмы.

Согласно условию задачи, эти плоскости перпендикулярны плоскости основания, то есть $\pi_1 \perp \alpha$ и $\pi_2 \perp \alpha$.

Так как грани $\pi_1$ и $\pi_2$ являются соседними, они имеют общее боковое ребро. Прямая, содержащая это боковое ребро, является линией пересечения плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$. Обозначим эту прямую как $l$. Таким образом, $l = \pi_1 \cap \pi_2$.

В стереометрии существует теорема: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

Применим эту теорему к нашей задаче. Плоскости $\pi_1$ и $\pi_2$ пересекаются по прямой $l$ и обе перпендикулярны плоскости $\alpha$. Из этого следует, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости основания $\alpha$.

Прямая $l$ содержит одно из боковых ребер призмы. По определению призмы, все её боковые ребра параллельны друг другу. Если одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то и все остальные боковые ребра также перпендикулярны ей.

Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой.

Следовательно, исходная призма является прямой. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Будет ли данное утверждение верно, если из его формулировки исключить слово «соседние»?

Рассмотрим новое утверждение: «Если две грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой». Данное утверждение не является верным. Для доказательства его ложности достаточно привести контрпример.

Рассмотрим наклонную призму, основанием которой служит трапеция $A_1A_2A_3A_4$ с параллельными сторонами $A_1A_2$ и $A_4A_3$. Верхним основанием будет соответственно трапеция $B_1B_2B_3B_4$.

Боковые грани, построенные на параллельных сторонах основания ($A_1A_2B_2B_1$ и $A_4A_3B_3B_4$), не являются соседними (при условии, что основание — не вырожденная в треугольник трапеция).

Можно сконструировать такую наклонную призму, у которой боковые ребра будут наклонены к плоскости основания, но при этом плоскости граней $A_1A_2B_2B_1$ и $A_4A_3B_3B_4$ будут перпендикулярны плоскости основания.

Для наглядности воспользуемся системой координат. Пусть плоскость основания $A_1A_2A_3A_4$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Прямую, содержащую сторону $A_1A_2$, расположим на оси $Ox$. Тогда прямая, содержащая $A_4A_3$, будет также параллельна оси $Ox$. Пусть вектор бокового ребра, например $\vec{A_1B_1}$, равен $\vec{e} = (k, 0, m)$, где $k \neq 0$ и $m > 0$.

Так как $k \neq 0$, вектор бокового ребра $\vec{e}$ не параллелен оси $Oz$ (которая перпендикулярна основанию), следовательно, боковые ребра не перпендикулярны основанию, и призма является наклонной.

Рассмотрим грань $A_1A_2B_2B_1$. Она содержит ось $Ox$ и вектор $\vec{e}=(k, 0, m)$. Все точки этой грани имеют координату $y=0$, то есть она лежит в плоскости $Oxz$. Плоскость $Oxz$ перпендикулярна плоскости основания $Oxy$.

Рассмотрим грань $A_4A_3B_3B_4$. Она содержит прямую $A_4A_3$, параллельную $Ox$, и также определяется вектором $\vec{e}=(k, 0, m)$. Эта плоскость будет параллельна плоскости $Oxz$ и, следовательно, тоже перпендикулярна плоскости основания $Oxy$.

В результате мы имеем наклонную призму, у которой две не-соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Это является контрпримером к измененному утверждению.

Ответ: Нет, данное утверждение будет неверно, если исключить слово «соседние».

16.5. Верно ли утверждение:

1) боковое ребро прямой призмы перпендикулярно любой диагонали её основания;

2) если все рёбра призмы равны, то она является правильной;

3) если все рёбра прямой призмы равны, то она является правильной?

1) боковое ребро прямой призмы перпендикулярно любой диагонали её основания;

По определению, прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Пусть $L$ — боковое ребро прямой призмы, а $P$ — плоскость одного из её оснований. Тогда по определению боковое ребро перпендикулярно плоскости основания: $L \perp P$. Диагональ основания — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, лежащего в основании. Любая диагональ основания, как и любая другая прямая, принадлежащая основанию, целиком лежит в плоскости основания $P$. Согласно свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, боковое ребро $L$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости $P$, включая любую диагональ основания. Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) если все рёбра призмы равны, то она является правильной;

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Чтобы призма была правильной, должны одновременно выполняться два условия: 1. Призма должна быть прямой (т.е. её боковые рёбра перпендикулярны основаниям). 2. Основание призмы должно быть правильным многоугольником (т.е. многоугольником, у которого все стороны и все углы равны).

Утверждение "если все рёбра призмы равны, то она является правильной" является неверным, так как из равенства всех рёбер не следует выполнение ни одного из этих двух условий.

Во-первых, призма может быть наклонной. В этом случае, даже если все её рёбра равны, она не является прямой, а значит, и не является правильной. Во-вторых, равенство всех сторон многоугольника в основании не гарантирует, что этот многоугольник является правильным. Например, ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны, но если его углы не прямые, он не является правильным многоугольником (квадратом).

В качестве контрпримера можно привести наклонную призму, в основании которой лежит ромб, и все рёбра которой (и стороны основания, и боковые) равны между собой. Такая призма не является правильной.

Ответ: Неверно.

3) если все рёбра прямой призмы равны, то она является правильной?

В этом утверждении дано, что призма является прямой. Таким образом, первое условие для правильной призмы (быть прямой) выполнено. Теперь необходимо проверить второе условие: является ли основание правильным многоугольником.

По условию, все рёбра призмы равны. Это означает, что все стороны многоугольника в основании равны между собой. Однако многоугольник с равными сторонами (равносторонний многоугольник) не обязательно является правильным. Для того чтобы многоугольник был правильным, у него должны быть равны не только стороны, но и все углы.

Приведём контрпример. Рассмотрим прямую призму, основанием которой является ромб, не являющийся квадратом. Пусть сторона ромба равна $a$. Так как призма прямая, её высота равна длине бокового ребра. По условию, все рёбра равны, значит, боковое ребро также равно $a$. В итоге мы имеем прямую призму, все рёбра которой равны $a$. Однако её основание — ромб, который не является правильным многоугольником. Следовательно, и сама призма не является правильной.

Ответ: Неверно.

16.6. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, один из углов которой равен $110^\circ$ (рис. 16.13). Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Рис. 16.13

Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен соответствующему внутреннему углу многоугольника, лежащего в основании. Это свойство wynikaет из того, что боковые ребра прямой призмы перпендикулярны ее основаниям, а значит, и боковые грани перпендикулярны основаниям. Таким образом, линейный угол двугранного угла между двумя смежными боковыми гранями будет совпадать с углом основания, образованным соответствующими сторонами.

Следовательно, задача сводится к нахождению углов равнобокой трапеции, лежащей в основании призмы.

Свойства равнобокой трапеции:

• Углы при каждом основании равны.
• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.

По условию, один из углов трапеции равен $110^\circ$. Этот угол является тупым. В равнобокой трапеции два тупых угла и они равны между собой. Значит, в основании лежит трапеция, у которой два угла равны $110^\circ$.

Остальные два угла (острые) также равны между собой. Найдем величину острого угла, используя свойство суммы углов, прилежащих к боковой стороне:

$180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Таким образом, углы трапеции, лежащей в основании призмы, равны $110^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$ и $70^\circ$.

Поскольку двугранные углы при боковых ребрах прямой призмы равны углам ее основания, то у призмы будет четыре двугранных угла, два из которых равны $110^\circ$, а два других — $70^\circ$.

Ответ: два угла по $110^\circ$ и два угла по $70^\circ$.

16.7. Докажите, что в любой призме количество вершин является чётным числом, а количество рёбер – числом, кратным 3.

Рассмотрим произвольную призму. В основании любой призмы лежит многоугольник. Обозначим количество вершин (и сторон) этого многоугольника буквой $n$. По определению многоугольника, $n$ является натуральным числом, не меньшим 3 ($n \ge 3$).

Доказательство того, что количество вершин является чётным числом

У призмы есть два основания: нижнее и верхнее. Каждое из них является $n$-угольником и, следовательно, имеет $n$ вершин.
Общее количество вершин призмы, обозначим его $V$, равно сумме количества вершин её оснований, так как все вершины призмы принадлежат её основаниям.
$V = n_{\text{нижнее основание}} + n_{\text{верхнее основание}} = n + n = 2n$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то произведение $2n$ по определению является чётным числом. Таким образом, количество вершин в любой призме всегда является чётным.

Ответ: количество вершин $n$-угольной призмы равно $2n$, что является чётным числом.

Доказательство того, что количество рёбер — числом, кратным 3

Рёбра призмы можно разделить на три группы: рёбра нижнего основания, рёбра верхнего основания и боковые рёбра, соединяющие соответствующие вершины оснований.
Количество рёбер нижнего основания равно количеству сторон $n$-угольника, то есть $n$.
Аналогично, количество рёбер верхнего основания также равно $n$.
Боковые рёбра соединяют каждую из $n$ вершин нижнего основания с соответствующей вершиной верхнего основания, следовательно, количество боковых рёбер также равно $n$.
Общее количество рёбер призмы, обозначим его $E$, равно сумме рёбер в этих трёх группах.
$E = n_{\text{рёбра нижнего основания}} + n_{\text{рёбра верхнего основания}} + n_{\text{боковые рёбра}} = n + n + n = 3n$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то произведение $3n$ по определению является числом, кратным 3 (делится на 3 без остатка). Таким образом, количество рёбер в любой призме всегда кратно 3.

Ответ: количество рёбер $n$-угольной призмы равно $3n$, что является числом, кратным 3.

16.8. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 3 см, а высота – $3\sqrt{6}$ см. Найдите диагональ призмы.

По определению, правильная четырехугольная призма — это прямая призма, основанием которой является квадрат.

Пусть $a$ — сторона основания призмы, $h$ — высота призмы, а $d$ — диагональ призмы. Из условия задачи имеем:
Сторона основания $a = 3$ см.
Высота $h = 3\sqrt{6}$ см.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда (которым является данная призма) равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты).

Формула для нахождения квадрата диагонали: $d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$.

Подставим заданные значения в формулу:

$d^2 = 2 \cdot (3)^2 + (3\sqrt{6})^2$

Выполним вычисления:

$d^2 = 2 \cdot 9 + 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2$

$d^2 = 18 + 9 \cdot 6$

$d^2 = 18 + 54$

$d^2 = 72$

Теперь найдём длину диагонали, извлекая квадратный корень из полученного значения:

$d = \sqrt{72}$

Упростим корень:

$d = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Таким образом, диагональ призмы равна $6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

16.9. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 5 см, а диагональ боковой грани – 13 см. Найдите высоту призмы.

Правильная треугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. Боковые грани такой призмы являются равными прямоугольниками.

Рассмотрим боковую грань призмы. Это прямоугольник, одна сторона которого равна стороне основания призмы ($a$), а другая сторона — высоте призмы ($h$). Диагональ этого прямоугольника ($d$) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат сторона основания и высота призмы.

По условию задачи нам даны:

• Сторона основания $a = 5$ см.
• Диагональ боковой грани $d = 13$ см.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного стороной основания, высотой и диагональю боковой грани:
$a^2 + h^2 = d^2$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти высоту $h$:
$5^2 + h^2 = 13^2$
$25 + h^2 = 169$

Выразим $h^2$:
$h^2 = 169 - 25$
$h^2 = 144$

Найдем высоту $h$, извлекая квадратный корень:
$h = \sqrt{144}$
$h = 12$ см.

Таким образом, высота призмы равна 12 см.

Ответ: 12 см.

16.10. Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $AC$ и $BC$ соответственно правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 16.14). Плоскость, проходящая через прямую $DE$ и образующая с плоскостью $ABC$ угол $30^\circ$, пересекает ребро $CC_1$ в точке $F$. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 12 см.

Рис. 16.13

Рис. 16.14

По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, следовательно, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Сторона основания $AB = BC = AC = 12$ см.

Точки $D$ и $E$ являются серединами ребер $AC$ и $BC$ соответственно. Это означает, что отрезок $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:$DE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Секущая плоскость проходит через прямую $DE$ и пересекает ребро $CC_1$ в точке $F$, образуя сечение — треугольник $DEF$.

Поскольку боковые ребра правильной призмы перпендикулярны основанию, ортогональной проекцией сечения $DEF$ на плоскость основания $ABC$ будет треугольник $DCE$.

Площадь ортогональной проекции фигуры связана с площадью самой фигуры следующей формулой:$S_{проекции} = S_{фигуры} \cdot \cos(\alpha)$,где $\alpha$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В нашей задаче $S_{DCE} = S_{DEF} \cdot \cos(30^\circ)$. Отсюда можно выразить искомую площадь сечения:$S_{DEF} = \frac{S_{DCE}}{\cos(30^\circ)}$.

Найдем площадь треугольника $DCE$. Так как $D$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $BC$, то $CD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см и $CE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Угол $\angle C$ в основании равен $60^\circ$, так как треугольник $ABC$ равносторонний.

Площадь треугольника $DCE$ можно вычислить по формуле:$S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CE \cdot \sin(\angle C)$$S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь найдем площадь сечения $DEF$:$S_{DEF} = \frac{S_{DCE}}{\cos(30^\circ)} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 18$ см$^2$.

Ответ: $18$ см$^2$.